驗證索賠的價值作為預期
背景：
到目前為止，為了簡單起見，我們將鍵 B 視為確定性的，但一些思考表明這在任何方面都沒有必要。隨機債券的一切都以同樣的方式運作 $ B_1(u) \neq B_1(d) $ （除了代數需要更多的工作），正如我們現在描述的那樣。定義對沖投資組合的方程現在變為
$$ \phi S(u) + \psi B(u) = X(u) \ \ \ \ \ (1.11) $$ $$ \phi S(d) + \psi B(d) = X(d) \ \ \ \ \ (1.12) $$ 我們暫時去掉了下標“1” $ S_1 $ 和 $ B_1 $ 為了方便。假設行列式 $ \Delta = S(u)B(d) − S(d)B(u) $ 非零，唯一解是 $$ \phi = \frac{B(d)X(u) − B(u)X(d)}{\Delta} \ \ \ \ (1.13) $$ $$ \psi = \frac{S(u)X(d) − S(d)X(u)}{\Delta} \ \ \ \ (1.14) $$ 由於沒有套利的假設，債權價值再次被強制為 $$ V_0(X) = \phi S_0 + \psi B_0 $$ 如果我們將折扣因子（現在是隨機的）定義為 $ \beta(\cdot) = B_0/B(\cdot) $ ， 我們獲得 $$ V_0(X) = E_Q[\beta X] \ \ \ \ \ (1.15) $$ 在哪裡 $ Q $ 是由下式定義的候選機率測度 $$ Q(u) = \frac{−B(u)S(d) + B(u)B(d)(S0/B0)}{\Delta} \ \ \ \ \ (1.16) $$ $$ Q(d) = \frac{−B(d)B(u)(S0/B0) + S(u)B(d)}{\Delta} \ \ \ \ \ (1.17) $$ 問題：
驗證公式 (1.15)、(1.16) 和 (1.17)
部分解決方案：
我們有
$$ \begin{align*} V_0(X) = \phi S_0 + \psi B_0 &= \left(\frac{B(d)X(u) − B(u)X(d)}{\Delta}\right)S_0 + \left(\frac{S(u)X(d) − S(d)X(u)}{\Delta}\right)B_0\ &= \frac{B(d)X(u)S_0 - B(u)X(d)S_0 + S(u)X(d)B_0 - S(d)X(u)B_0}{\Delta}\ &= \frac{(B(d)S_0 - S(d)B_0)X(u) + (S(u)B_0 - B(u)S_0)X(d)}{\Delta}\ &= \left(\frac{B(d)S_0 - S(d)B_0}{\Delta}\right)X(u) + \left(\frac{S(u)B_0 - B(u)S_0}{\Delta}\right)X(d) \end{align*} $$ 我相信這是我需要將 $ \beta(\cdot) $ 折扣因素，但我真的很確定該怎麼做，我不太了解折扣因素。非常感謝任何建議。
你快到了。請注意，對形式有一個期望 $ (1.15) $ , 你需要治療 $ X\beta $ 一起作為隨機變數。也就是各自的機率 $ Q(u) $ 和 $ Q(d) $ 應該適用於相應的實現 $ X(u)\beta(u) $ 和 $ X(d)\beta(d) $ . 具體來說，從您的最後一步繼續，
$$ \begin{align*} V_0(X) &=\left(\frac{B(d)S_0 - S(d)B_0}{\Delta}\right)X(u) + \left(\frac{S(u)B_0 - B(u)S_0}{\Delta}\right)X(d) \ &=\left(\frac{B(d)B(u)S_0/B_0 - S(d)B(u)}{\Delta}\right)X(u)\frac{B_0}{B(u)} \ &\quad+ \left(\frac{S(u)B(d) - B(u)B(d)S_0/B_0}{\Delta}\right)X(d)\frac{B_0}{B(d)}\ &=Q(u)\big[X(u)\beta(u)\big] + Q(d)\big[X(d)\beta(d)\big], \end{align*} $$ 這是 $ (1.15) $ .