為什麼可分散風險沒有回報？
我目前正在瀏覽一些精算學習材料（CM2，以前稱為 CT8），其中正在討論資產回報模型。一種這樣的模型是市場模型（AKA The single-index model），它被定義為 $$ R_i = \alpha_i + \beta_i R_M + \varepsilon_i $$ 在哪裡
- $ R_i $ 是資產回報率 $ i $ （正在建模）
- $ R_M $ 是市場的回報
- $ \alpha_i $ 和 $ \beta_i $ 是常數（通過回歸分析找到）
- $ \varepsilon_i $ 是代表資產回報的隨機變數 $ i $ 這與市場回報無關。
在這種情況下，它繼續說，只有系統風險，由 $ \beta_i $ 由於這種風險是不可分散的，因此應該期望通過增加的回報來獲得回報）。
誰能解釋為什麼非系統性風險（即 $ \varepsilon_i $ ) 不會期望獲得更大的回報嗎？
例如，假設您在同一行業中有兩家公司。如果一家公司是長期的大公司（例如匯豐銀行），而另一家是規模較小的新興公司（Monzo），那麼儘管它們可能與相同的基礎指數相關，但您會期望獲得更大的回報較小的參與者，因為與之相關的市場風險更大。
等權組合
回答這個問題的典型方法是考慮一個等權重的投資組合 $ n $ 資產。一項資產 $ i $ 因此具有投資組合權重 $ w_i=\frac{1}{n} $ 和超額收益 $ R_i $ 所有資產具有相同的波動性 $ \sigma_i=\sigma $ 和相關性 $ \rho_{ij}=\rho $ 與另一項資產 $ j $ .
投資組合變異數 $ {\rm var}(R_P) $ （我們在均變異數優化中考慮的風險度量）由下式給出： $$ {\rm var}(R_P) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j {\rm cov}(R_i,R_j). $$ 如果我們將其擴展並記住 $ {\rm cov}(R_i,R_i)={\rm var}(R_i)=\sigma^2 $ ，我們可以將投資組合變異數改寫為： $$ \begin{align} {\rm var}(R_P) &= \frac{1}{n^2} \left[\sum_{i=1}^n \sigma^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^n {\rm cov}(R_i,R_j)\right], \ &= \frac{n\sigma^2}{n^2} + \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^n \rho \sigma^2, \ &= \frac{n\sigma^2}{n^2} + \frac{n^2-n}{n^2}\rho \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \left(1-\frac{1}{n}\right)\rho \sigma^2 . \end{align} $$
如果我們持有一個非常多樣化的投資組合，我們可以看到這就像將投資組合變異數的極限作為 $ n $ 變大。 $$ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sigma^2}{n} + \left(1-\frac{1}{n}\right)\rho \sigma^2\right) = \rho\sigma^2. $$
非等權組合
我們還可以通過允許從 $ w_i=\frac{1}{n} $ 在投資組合權重中，並允許與 $ \sigma_i^2=\sigma^2 $ 在變異數中。（在這種情況下，CAPM 會說 $ \sigma_i^2=\beta_i^2\sigma_M^2 + \sigma_{\epsilon_i}^2 $ .) 只要這些差異不是“太大”（並且定義會變得非常技術性），限制仍然存在，第一項仍然會在限制中消失，並且限制仍然與它們之間的相關性有關資產和一些平均變異數水平。
系統性風險的來源
如果我們使用 CAPM，股票之間的共同相關性的來源是它們的敏感性 $ \beta $ 去市場。”
除了 CAPM，是什麼導致了所有資產之間的相關性？宏觀經濟是一個很好的猜測。由於我們使用股票收益的前瞻性衡量來評估宏觀經濟，即使我們不強加 CAPM，它也是一個明智的模型。
最後，該共同相關項是投資組合中的系統風險 $ P $ . 因此，只有系統性風險在限度內很重要，因為 $ n\to\infty $ （即隨著我們的投資組合變得越來越多樣化）。
沒有人說在實踐中沒有獎勵（或懲罰）可分散風險。
問題是，為承擔這種風險而期望得到補償是否合理。這將隱含地假設其他人應該合理地期望在他們可以對沖或分散投資的相同風險的另一方承擔損失。
您可能期望您的特殊風險得到回報；而其他具有相反特殊風險的人可能也希望他們的風險也會為他們帶來回報。如果你們都沒有，你們都不會被定位。然而，我們其他沒有你偏見的人只會期待你們兩個之間的零和遊戲。如果你做多市場加1%蘋果；而且他的市場少了1%的蘋果，而你的綜合表現與市場有什麼不同，一些非常錯誤的事情已經被嚴重誤判了！！！
當然，你們兩個中的一個將成為 Apple 贏家；另一個是蘋果的失敗者……但為什麼沒有你反對的偏見的其他人會相信蘋果應該向市場提供預期的正或負超額回報有任何特殊原因？
為了讓您期望為您的特殊風險獲得報酬，您必須相信有一個“可憐蟲”願意付錢給您以維持您的職位，其原因超越了他們最大化自己的利潤。這就是問題的癥結所在。