貨幣市場賬戶 (MMA) 計價和遠期計量等價嗎？
假設我們有一個風險中性度量 $ \tilde{\mathbb{P}} $ . 貨幣市場賬戶為 $ M(t) = e^{\int^t_0 R(s) ds} $ , 而當時零息債券的價格 $ t $ 成熟於 $ T $ 表示 $ B(t,T) $ .
因此，前向測量定義為 $ B(t,T) $ 作為計價單位。但是，我很好奇是否服用 $ M(t) $ 還將使該措施成為一項前瞻性措施。如果這通常不是真的，那麼當利率恆定時它是否有效 $ R(t) = r $ ? 這意味著 $ B(t,T) = e^{r(T-t)} $ ， 和 $ B(0,T) = \frac{1}{M(T)} $ 和 $ B(T,T) = \frac{1}{M(0)} $ ，這似乎暗示了這兩種度量之間的某種聯繫，僅通過查看 Radon-Nikodym 導數， $ \mathbb{Z} $ .
此外，我還有一個關於前向測量有用性的問題。似乎遠期措施在期權定價中很有用，因為我們可以將風險中性定價公式的折扣去掉，這樣 $ V(t) = D(t) \tilde{\mathbb{E}}^F[V(T) | {\cal{F}}(t)] $ . 但是使用前向測量還有其他優點嗎？
Fabrice Rouah 的這篇短文很好地解決了您的問題：T-forward measure
更具體地說，使用您的符號並註意 $ B(T,T)=1 $ 根據定義，測量值之間的變化 $ T $ -向前 （ $ \mathbb{Q}^B $ ) 和風險中性 ( $ \mathbb{Q}^M $ ) 措施的特徵在於以下 Radon-Nikodym 導數：
$$ \left. \frac{d \mathbb{Q}^B}{d \mathbb{Q}^M } \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{M(t)B(T,T)}{M(T)B(t,T)} = \frac{M_t}{M_T}\frac{1}{B(t,T)} $$ 然而，通過建構鞅測度 $ \mathbb{Q}^M $ , 零息債券價格的關係式為
$$ \begin{align} \frac{B(t,T)}{M_t} &= E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{B(T,T)}{M_T} \right] \ B(t,T) &= E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{B(T,T) M_t}{M_T} \right] \ B(t,T) &= E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{M_t}{M_T} \right] \end{align} $$ 我在哪裡使用了符號 $ E_t[.] $ 代表 $ E[.\vert\mathcal{F}_t] $ . 將上述結果代入 Radon-Nikodym 導數的表達式，得出：
$$ \left. \frac{d \mathbb{Q}^B}{d \mathbb{Q}^M } \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{M_t}{M_T}\frac{1}{B(t,T)} = \frac{M_t}{M_T}\frac{1}{E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ M_t/M_T \right]} = \frac{1/M_T}{E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ 1/M_T \right]} $$ 當利率是確定性的，那麼
$$ E^{\mathbb{Q}^M}t\left[ \frac{1}{M_T} \right] = \frac{1}{M_T} $$ 和 $$ \left. \frac{d \mathbb{Q}^B}{d \mathbb{Q}^M } \right\vert{\mathcal{F}_t} = 1 $$ 這樣的措施 $ \mathbb{Q}^B $ 和 $ \mathbb{Q}^M $ 是完全等價的。 對於隨機利率，這不再是真的。