動態優化：資源庫存作為匯
我考慮了一個動態問題，其中社會計劃者最大化以下效用；
$$ \underset{c\left(t\right)}{max}\int_{0}^{\infty}u\left(c\left(t\right)\right)e^{-\rho t} $$ 受兩個約束
$$ \dot{K}\left(t\right)=AK\left(t\right)-c\left(t\right) $$ $$ \dot{S}\left(t\right)=\left(1-S\left(t\right)\right)S\left(t\right)-\gamma AK\left(t\right) $$ 在哪裡 $ S(t) $ 和 $ K(t) $ 分別為自然資本（海洋、湖泊、森林等）和物質資本。 $ c(t) $ 代表消費。
在這個 $ AK $ 模型中，有形資本會產生一些對自然資源存量有害的廢物，參數不變 $ \gamma $ . 這一特徵與環境經濟學文獻中的Wirl (2004)很接近。
問題的哈密頓量是
$$ \mathcal{H}=u\left(c\left(t\right)\right)+\lambda\left(t\right)\left(AK\left(t\right)-c\left(t\right)\right)+\mu\left(t\right)\left(\left(1-S\left(t\right)\right)S\left(t\right)-\gamma AK\left(t\right)\right) $$ $ \lambda $ 和 $ \mu $ 是物質資本和自然資本的共態變數。
共態變數的動力學是
$$ \dot{\lambda}=\rho\lambda+\mu\gamma A-\lambda A $$ $$ \dot{\mu}=\rho\mu-\mu\left(1-2S\right) $$ 事實上，在這個模型中，很容易說自然資本沒有任何舒適價值，沒有提供任何正效用，它就像一個“水槽”。
由於社會計劃者只考慮了資本積累的負面影響（它會產生浪費），我認為自然資本作為“成本”進入這個模型。
那麼，是不是可以這麼說 $ \mu $ 是否可以取負值，因為自然資本代表資本積累的成本？
“那麼，能不能這麼說 $ \mu $ 是否可以取負值，因為自然資本代表資本積累的成本？”
不。 $ \mu $ 可以認為是自然資源的影子價格。作為“價格”，它必須是非負的。請注意，如果我們設置 $ \mu=0 $ 問題又回到標準模型，它有一個直覺的解釋：如果“我們不關心”自然資源，那麼它們的“價格”為零。
要從另一條路線看到這一點，對於標準 CRRA 實用程序功能
$$ u(c) = \frac {c^{1-\theta}-1}{1-\theta} $$ 我們會得到
$$ \frac {\dot c}{c} = \frac{1}{\theta}[A-\rho] - \frac{1}{\theta}\frac{\mu}{\lambda}\gamma A $$ 因此，如果 $ \mu <0 $ 我們將獲得更高的消費增長率，如果通過 $ \mu <0 $ 我們想表達“我們關心”自然資源，因此我們會降低損害自然資源的資本積累，從而降低消費增長率。