CES：生產函式：替代彈性σ=1/(1+ρ)σ=1/(1+ρ)sigma = 1/(1 + rho)
我必須證明 $ \sigma = 1/(1 + \rho) $ 對於 CES 生產函式：
$$ \begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align} $$ 我發現我需要解決以下等式：
$$ \begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align} $$ 但我只是不知道如何將這個表達式重寫為 $ \sigma = 1/(1 + \rho) $
生產函式為：
$$ q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} $$ MPL 和 MPK 分別為： $$ q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1} $$ $$ q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho
- k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1} $$ l 可以替代 k 的比率是多少？ 在哪裡 $ f $ 是單個變數的可微實值函式，我們將 f(x) 相對於 x（在點 x）的彈性定義為
$$ \sigma(x) = \frac{x f’(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}} $$
- 改變變數，使得 $ u = ln(x) $ ( $ \rightarrow x = e^u $ ） 和 $ v=ln(f(x)) $ ( $ \rightarrow f(x) = e^v $ )
- 注意 $ v’ = f’(x) / f(x) $ 和 $ u’=\frac{1}{x} $ 以便 $$ \frac{v’}{u’}=\frac{\frac{f’(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x) $$
- 請注意，這也是您通過求解得到的結果 $ \frac{d ln f(x)}{d ln(x)} $ 因為 $ \frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u} $ 我們通過鍊式法則解決： $$ \frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f’(x)}{f(x)} \cdot x $$ 這恰好是 $ \sigma(x) $ .
現在讓我們解決您的彈性問題。
$$ ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho
- k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l) $$ $$ \Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l}) $$ 所以 $ \sigma = \frac{1}{1-\rho} $
我想在上面的答案中補充一點。我之前寫了一條評論，但我認為進一步充實這個論點會有所幫助。
我們有一家公司使用兩種生產要素，勞動力 $ l $ 和資本 $ k $ , 產生輸出。輸出數量寫入 $ q $ .
單個變數函式的彈性衡量因變數對自變數百分比變化的響應百分比。
另一方面，兩個要素投入之間的替代彈性衡量了它們數量之比對相對邊際產品變化百分比的響應百分比。
與上述有關，我們有彈性由下式給出
$$ \begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align} $$
在哪裡 $ MPL $ 是勞動的邊際產品，並且 $ MPK $ 是資本的邊際產品。
我寫這個的原因是上面的答案有一個小錯誤。在“現在讓我們解決你的彈性問題”之後的等式中 $ \ln{\frac{q_k}{q_l}} $ 緊隨其後的是一個表達式 $ \ln{\frac{q_l}{q_k}} $ 用分母交換分子。
如果你糾正這個，你就會明白 $ \sigma = -\frac{1}{1-\rho} $ ，這很接近但並不完全正確。為了得到正確的答案，你按照上面答案給出的完全相同的計算得到
$$ \ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}} $$
得到那個 $ \sigma = \frac{1}{1-\rho} $ ，其中更正是出於上述原因。