CES 生產函式 利潤和供給函式
我需要導出以下 CES 函式的利潤函式：$$ f(z) = (\sqrt{z_{1}^{\rho} + z_{2}^{\rho}})^{1/ \rho} $$在哪裡 $ \rho \leq 1 $ . 這是我應該得到的答案：
如果 $ \rho <1 $ 然後 $$ \pi(w) = \begin{cases} \infty ;;;;; \text{if} & w_{1}^{\rho/(\rho -1)} + w_{2}^{\rho/(\rho -1)} <1 \ 0 ;;;;; \text{if} & w_{1}^{\rho/(\rho -1)} + w_{2}^{\rho/(\rho -1)} \geq 1
\end{cases} $$如果 $ \rho = 1 $ ， 然後：
$$ \pi(w) = \begin{cases} 0 & \text{if} ;\ Min{w_{1},w_{2}} \geq 1 \ \infty & \text{if} ;; Min{w_{1},w_{2}} < 1 \ \end{cases} $$
通常我只是使用利潤最大化或成本最小化 FOC 來獲得利潤函式，以及供應函式。但我一直試圖解決這個問題，我真的無法解決這些結果或（特別重要）如何推導出它們。話雖如此，如果您感到特別無私，任何提示，直覺或只是對推導的幫助將不勝感激。
提前致謝！
提示：求解 FOC 假設解是內部的，在這種情況下，利潤為正且小於 $ \infty $ . 我建議你推導出成本函式 $ c(y) $ 然後研究它的導數。如果邊際成本總是小於商品的價格（可能假設為 1），那么生產更多總是更好，利潤是無限的。然而，如果邊際成本總是大於價格，那麼最優的就是什麼都不生產，獲得零利潤。
希望這可以幫助。