凹生產函式隱含凸成本函式
假設我們有一個遞增的生產函式 $ f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+} $
現在，假設這個生產函式是凹的並且輸入 z 的價格是固定的（這是一個單一輸入和單一輸出的情況）。我想表明這意味著相應的成本函式 $ C^f(w,q) $ 是凸的。
我的想法：
讓 $ z,z’ \in \mathbb{R^+} $ WLOG在哪裡 $ z’>z $ 然後讓 $ f(z)=q $ 和 $ f(z’)=q $
自從 $ f $ 是凹的，我們取 $ \alpha \in [0,1] $ $ s.t $ :
$$ f(\alpha z +(1- \alpha)z’) \geq \alpha f(z) +(1- \alpha)f(z’) $$ 讓 $ \alpha z +(1- \alpha)z’=z’’\in \mathbb{R^+} $ 必要時在哪裡 $ z\leq z’’ \leq z’ $
由於成本 $ z=w $ 固定在某個 $ w \in \mathbb{R^+} $
我們可以將成本函式重寫為 $ C^f(q) $ 如果為 $ \alpha \in [0,1] $ :
$$ C(\alpha q +(1- \alpha)q’) \leq \alpha c(q) +(1- \alpha)c(q’) $$ 現在，自從 $ f $ 是凹的，不可能是這樣的 $ f $ 體驗規模報酬遞增。然後 $ f $ 規模報酬不變或規模報酬遞減。
然後：
自從 $ z’’ $ 顯然是可行的，那麼我們有：
$$ C(w,q’’) \leq wz’’ $$ $$ =\alpha wz + (1- \alpha) w*z’ $$ $$ = \alpha c(w,q) + (1- \alpha) c(w,q’) $$ 這看起來正確嗎？
給定固定的投入價格 $ w $ ，代價函式可以寫成
$$ C(q)=f^{-1}(q)\times w $$ 在哪裡 $ f^{-1} $ 是生產函式的倒數 $ f $ . 從這裡的討論可以得出結論，凹嚴格遞增函式的逆函式是凸函式。因此， $ C(q) $ 也是凸的。 回到你的方法，你可能希望清楚地說明這一點。讓 $ q’’=\alpha q + (1-\alpha)q’ $ , $ f(z)=q $ , $ f(z’)=q’ $ ， 和 $ f(z’’)=q’’ $ 然後
$$ \begin{align} f(z’’)&=&q’’\ &=&(\alpha q + (1-\alpha)q’)\ &=&\alpha f(z)+(1-\alpha) f(z’)\ &\leq&f(\alpha z +(1-\alpha z’)) \end{align} $$ 然後 $ f(z’’)\leq f(\alpha z +(1-\alpha z’)) $ 暗示著 $ \alpha z +(1-\alpha z’)\geq z’’ $ 自從 $ f $ 正在（嚴格）增加。因此， $$ z’‘w=C(q’’)\leq \alpha C(q)+ (1-\alpha) C(q’) $$