生產函式中的恆定收益是大號=(ķ大號)一種(R大號)b是大號=(ķ大號)一種(R大號)bfrac{Y}{L}=left(frac{K}{L}right)^{alpha}left(frac{R}{L}right)^{beta}(RRR=資源）
在他1977 年的文章中（據此發展了大量關於哈特威克規則的文獻，以在不可再生自然資源枯竭的情況下保持長期恆定消費），哈特威克使用（第 973 頁）這個總生產函式：
$$ x = k^{\alpha}y^{\beta}1^{\gamma} $$ 在這裡（見第 972 頁） $ x $ 是人均產出， $ k $ 是人均可再生產資本，並且 $ y $ 是一種可耗盡資源的人均使用量。 $ 1 $ 只是第一，假設勞動力是恆定的（所以術語 $ 1^{\gamma} $ 似乎是多餘的）。所以用更熟悉的符號（輸出 $ Y $ ， 首都 $ K $ , 可耗盡資源的使用 $ R $ ， 勞動 $ L $ )，並忽略人口和勞動力之間的差異，這是：
$$ \frac{Y}{L}=\left(\frac{K}{L}\right)^{\alpha}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta} $$ 然後，Hartwick 假設 (p 972) 規模報酬不變，形式為（明確地在 p 973 上） $ \alpha+\beta=1 $ .
問題：有什麼理由可以證明上述形式中的恆定收益假設是合理的？當所有因素都增加時，假設恆定收益不是更合理嗎？ $ \alpha+\beta+\gamma=1 $ 在形式的生產函式中：
$$ Y=K^{\alpha}R^{\beta}L^{\gamma} $$ 這確實暗示了上述功能，因為： $$ \frac{Y}{L} = \frac{K^{\alpha}R^{\beta}L^{\gamma}}{L^{\alpha}L^{\beta}L^{\gamma}}=\left(\frac{K}{L}\right)^{\alpha}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta} $$ 然而，鑑於 $ \gamma>0 $ , 不符合 $ \alpha+\beta=1 $ ： 反而 $ \alpha+\beta<1 $ .
本文的目的是研究/展示導致“代際公平”的“投資規則”，即人口不變轉化為消費不變。
正在審查的投資規則是（第 973 頁的最後一行）“將來自可耗盡資源的所有淨收益投資於可再生資本”（並消耗其餘部分）。
早些時候，等式。 $ (1) $ 論文的（資本積累定律）告訴我們，可耗盡資源的總回報等於 $ f_yy $ : 這意味著我們假設每單位可耗盡資源的回報等於其邊際產量。
但這反過來又意味著定價和市場的存在。因此，資本也必須有市場。如果資本市場也具有邊際定價的特徵，那麼，如果我們假設生產函式的資本和可耗盡資源的規模報酬遞減 ( $ \alpha + \beta <1 $ ）， 然後
$$ f_kk + f_yy < x $$ 部分產出將下落不明。
因此，作者假設這兩者的規模報酬不變，因此他也可以假設競爭市場和邊際定價，以及人均產出在這些投入的回報中耗盡。
這當然引出了一個問題：勞動力市場會發生什麼變化？ 好吧，我們可以通過以下假設逃脫謀殺：沒有休閒勞動力選擇，勞動力是無彈性地提供的，而且勞動力沒有市場，它被其他生產要素所包含，即提供與他們一起，而不是單獨支付：想想那些也在自己的企業中工作但不支付工資的資本所有者。
這當然意味著具有單一勞動和不相關指數的公式 $ \gamma $ 是草率和有問題的，它應該不存在（它不會影響論文），它正確地導致了 OP 的問題。