根據生產函式、工資和租金率確定成本
所以我有一個生產函式 $ Q=2K + 20L^{1/2} $ 我想工資是 $ w=5 $ 租金是 $ r=9 $ . 我想找到生產的長期成本，我知道它受制於 $ \frac{MP_{L}}{MP_{K}}=w/r $ 因此
$$ \frac{10L^{-1/2}}{2} = 5/9 $$ 這意味著 $ L=81 $ . 但是，我不知道如何找到我的資本數量， $ K $ . 任何幫助，將不勝感激。
A) 如果我們關心不虧損，
可以觀察到
一種） $ Q(K=0, L>0) >0 $ （即我們可以在沒有資本的情況下獲得正產出）
和
**b）**輸出是線性的 $ K $ 和 $ MP_K = 2 $ ， 儘管 $ r=9 $ . 因此，對於我們將使用的每一單位資本，我們將獲得 $ 2 $ 額外的產出單位，但我們將不得不支付 $ 9 $ 作為資本回報的產出單位：在給定價格的情況下，使用資本意味著在這裡補貼它。所以我們根本不應該使用資本，因為根據a），沒有它我們可以有正產出。
另一方面，如果說， $ L=1 $ 然後 $ Q = 20 $ 儘管 $ wL = 5 $ . 因此，在不補貼生產要素的情況下，僅使用勞動力進行生產是有空間的。
所以我們有 $ K^* = 0 $ . 但是之後，
$$ C^* = wL^,;; L^ = \frac {\bar Q^2}{400} $$ 成本函式現在在零處有一個不感興趣的最小值，然後它單調增加。
為了不虧損，我們需要
$$ \bar Q - C^* \geq 0 \implies \bar Q - w\frac {\bar Q^2}{400} \geq 0 \implies \left(1-w\frac {\bar Q^*}{400}\right) \geq 0 $$ $$ \bar Q \leq \frac {400}{w} $$ 所以，如果我們關心不虧損，a）我們不使用資本，b）產出水平不應該超過，因為 $ w=5 $ , $ Q \leq 80 $ .
B）如果我們不在乎虧損（例如，這是一個必須提供特定水平產出的公用事業，無論其成本是否高於出售產出所獲得的收入）
讓我們看看標準方法將我們引向何方。
$$ \min_{K,L} C = rK + wL ;;;s.t.;; g(K,L) = 2K + 20L^{1/2} = \bar Q $$ 對於任何給定的輸出水平。
拉格朗日是
$$ \Lambda = rK + wL + \lambda[\bar Q-2K - 20L^{1/2}] $$ 如果我們計算最小值的一階條件，我們得到
$$ \partial \Lambda/\partial K = 0 \implies r - 2\lambda =0 \implies \lambda = r/2 \tag{1} $$ $$ \partial \Lambda/\partial L = 0 \implies w - \lambda\cdot 10L^{-1/2} = 0 \tag {2} $$ 這對於 $ r=9, w=5 $ 導致候選解決方案 $ {K^,L^=81,\lambda^* = 4.5} $
為了確定在候選解決方案中會發生什麼，我們還需要考慮最低限度的二階條件
$$ \partial^2 \Lambda/\partial L^2 = 5\lambda L^{-3/2} $$ $$ \partial^2 \Lambda/\partial K^2 = \partial^2 \Lambda/\partial L\partial K =0 $$ 那麼有邊界的Hessian矩陣（=以約束的一階導數為邊界的拉格朗日的二階導數矩陣，左上角為零）是
$$ \bar H = \left [ \begin{matrix} 0 & 2 & 10L^{-1/2} \ 2 & 0 & 0 \ 10L^{-1/2} & 0 & 5\lambda L^{-3/2} \ \end{matrix} \right] $$ 為了使候選解最小化，我們需要邊界的主要次要子項（次要行列式）都嚴格為負，除了第一個是由構造為零的），至少在候選解中進行評估。我們有
$$ |\bar H_2| = \left | \begin{matrix} 0 & 2 \ 2 & 0 \ \end{matrix} \right| = -4 <0 $$ 和
$$ |\bar H_3| = \left | \begin{matrix} 0 & 2 & 10L^{-1/2} \ 2 & 0 & 0 \ 10L^{-1/2} & 0 & 5\lambda L^{-3/2} \ \end{matrix} \right| = 0 - 2\cdot10\lambda\cdot L^{-3/2} + 0 <0 $$ 為了 $ \lambda , L $ 嚴格積極。所以我們很好……除了我們不知道的價值 $ K^* $ . 我們可以自由選擇我們想要的任何資本水平嗎？
當然不是。記住乘數 $ \lambda ^* $ 是最優邊際成本（作為產出的函式）。但是在這裡，假設使用非零資本，最優邊際成本不取決於產出水平，它固定為 $ \lambda ^ =4.5 $* , 由於線性外觀 $ K $ 在生產函式中，以及組織的假定價格接受行為。
換句話說：如果我們使用資本，我們應該固定 $ MC(Q) = 4.5 $ . 這意味著只要我們能夠以比這更低的邊際成本進行生產，我們就不應該使用資本。但是，如果存在僅由勞動力生產的產出水平，在此水平和之後，繼續僅使用勞動力進行生產將導致邊際成本高於 $ 4.5 $ ，然後，開始使用資本就變得最優了（嚴格意義上的最優成本最小化）。
在僅使用勞動力的生產中，我們擁有
$$ C = \frac {w\bar Q^2}{400} \implies MC = \frac {\bar Q}{40} $$ 因此對於 $ MC \leq 4.5 \implies \bar Q \leq 180 $ 後 $ \bar Q =180 $ 如果我們僱傭額外的勞動力來增加產量，我們的邊際成本將高於我們開始使用資本的情況。這將繼續下去，因為勞動的邊際產品會下降，而資本的邊際產品是不變的。所以我們得出結論，直到 $ \bar Q =180 $ 我們應該只使用勞動力進行生產，之後，我們應該停止僱用任何額外的勞動力，並通過使用資本來滿足所有資源需求，其水平顯然將在@BKay 的回答中給出。
完整的數學處理需要將其轉換為 Karush-Kuhn-Tucker 框架，並包括決策變數取值為零的情況的乘數。