邊際產量是否需要遞減才能使平均產量遞減？

我們有規則“如果邊際小於平均值，則平均值下降”。

因此，如果我們的輸入 x 和輸出 y 的生產函式是凹的，這是否意味著在 AP 遞減的情況下 MP 必須遞減？

假設總產品由下式給出 $ f(x) $ . 因此，平均產品為

$$ AP(x)=\frac{f(x)}{x}. $$ 區分：

$$ AP’(x)=\frac{x f’(x)-f(x)}{x^2}, $$ 與 $ x f’(x)-f(x) $ . 這絕對是負面的，如果 $ f’’(x)<0 $ （即，如果 $ f $ 是凹的）。

但它也可以是負數，即使 $ f $ 是局部凸的。看看這張圖：

在用藍色圓盤標記的點：紅線的斜率為 $ f’(x) $ . 黑線的斜率為 $ f(x)/x $ . 我們可以從幾何上看到 $ f(x)/x>f’(x) $ ，或（重新排列後） $ f’(x)x<f(x) $ .

因此，在藍色圓盤所示的點，我們知道 $ AP’(x)<0 $ . 但是此時我們也可以在圖中看到 $ f’’(x)>0, $ 意味著邊際產量在增加。

由於我們有一個反例，我們得出結論，邊際產量遞減不是平均產量遞減的必要條件。

接受@Henry 的評論，因為他懶得輸入它作為答案：

只要 $ f $ 是兩次可微的（如果 $ MP(x) $ 存在）只是事實 $ f(x) $ 是凹的意味著 $ \dfrac{d^2f(x)}{dx^2} < 0 $ . 這也是第一次區分 $ MP(x) $ ，因此它正在減少。

所以你需要的只是凹度。您所指的“規則”具有不同的含義。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/14913