CRS生產函式的替代彈性
假設 $ F(\cdot) $ 有 CRS 在 $ K $ 和 $ L $ ，替代彈性為 $ \sigma_{K L} \equiv F_{L} F_{K} / F F_{L K} $ .
我曾經推導出過這個方程，但我記得這需要我很長時間，而且這個過程很乏味。我想知道是否有任何簡單的方法可以得出或直覺地記住它？
我不確定它是否直覺，但這是因為 CRS 函式是 1 次同質的。
完全推導：
首先，任意替代彈性的通用公式 $ L $ 和 $ K $ * 由（見 Sydsæter et al. EMEA pp 430）給出：
$$ \sigma_{L,K} = \frac{-F_K’F_L’(xF_K’+ yF_L’)}{xy \left( (F_L’)^2F_{KK}^{’’} - 2 F_K’F_L’F_{KL}’’ + (F_K’)^2F_{LL}’’\right)}, \text{ for: } F(K,L)=c \tag{1} $$
其中 c 是任意常數。這是我們的出發點。
現在根據定義，CRS 生產函式的屬性是它們是 1 次同質的（因為根據定義，我們有 CRS，當 $ F(tK,tL)= tF(K,L) $ ).
如果 $ F $ 是 1 次齊次的，那麼 (1) 的分子將是 $ = −F_K’F_L’F $ .
這是因為歐拉定理告訴我們，如果：
$$ f(x,y) \text{ is homogenous of degree k} \implies xf_x’(x,y) + yf_y’(x,y)= kf(x,y) $$
下一個歐拉定理還意味著（假設 $ f $ 是兩次連續可微），即：
$$ xf_{xx}’’(x,y) + yf_{yx}’’(x,y)= (k-1)f_x’(x,y) $$ $$ xf_{yx}’’(x,y) + yf_{yy}’’(x,y)= (k-1)f_y’(x,y) $$
以上暗示在我們的案例中：
$$ K F_{KK}’’ = - LF_{KL}’’ $$然後$$ L F_{LL}’’ = - K F_{LK}’’ = - K F_{KL}’’ $$. 因此，分母將由下式給出：
$$ -F{KL}’’\left( L^2 (F_L’)^2 + 2KLF_K’F_L’+ K^2(F_K’)^2\right)= - F_{KL}’’(KF_K’+ L F_L’)^2 = - F_{KL}‘‘F^2 $$
我們再次使用上面的歐拉定理。
現在終於完成了：
$$ \sigma_{LK} = \frac{−F_K’F_L’F}{- F_{KL}‘‘F^2} =\frac{F_K’F_L’}{ F_{KL}‘‘F} $$
我個人認為上面的結果不是很直覺（如果是這樣的話，它的直覺讓我無法理解），但這是 CRS 函式是 1 次同質的結果，這個結果實際上適用於任意兩個變數之間的任何替代彈性函式是 1 次齊次的且兩次連續可微的。
- 或者 $ y $ 和 $ x $ 就此而言，這可以推廣到任何替代彈性問題
1muflon1的答案是完全正確的。
讓我給出另一個替代推導，它可能更容易記住，雖然可能不是更直覺。
讓 $ k = K/L $ 是資本與勞動的比率。然後我們可以定義 $ f(k) = F(K/L, 1) $ 為每單位勞動的產出。然後根據 CRS 假設，我們有： $$ F(K,L) = L f(K/L) = L f(k). $$ 取導數 $ K $ 和 $ L $ 給出： $$ \begin{align*} &F_K = L f’(k) \frac{1}{L} = f’(k),\ &F_L = f(k) + L f’(k) \left(-\frac{K}{L^2}\right) = f(k) - k f’(k). \end{align*} $$ 最後： $$ \begin{align*} &F_{K,L} = f’’(k)\left(-\frac{K}{L^2}\right) = -kf’’(k) \frac{1}{L},\ \to &F_{K,L} F = -k f’’(k) f(k). \end{align*} $$ 現在讓我們看一下 IES： $$ \sigma_{L,K} = -\frac{\partial \ln(F_K/F_L)}{\partial \ln (K/L)} = \frac{\partial \ln \left(\frac{f’(k)}{f(k) - k f’(k)}\right) }{\partial \ln k} $$ 現在對分子和分母求導 $ k $ : $$ \begin{align*} \sigma_{L,K} &= -k \frac{f - k f’}{f’}\frac{f’’ \left(f - k f’\right) - f’\left(f’ - f’- k f’’\right)}{(f - k f)^2}\ &= \frac{-k f’’ f}{f’(f - kf)},\ &= \frac{F_{K,L} F}{F_K F_L} \end{align*} $$