經驗估計 TFP
假設我們假設生產函式具有 Cobb-Douglass 形式： $$ Y=A\times K^\alpha\times L^\beta, $$在哪裡 $ Y $ 是產出（GDP）， $ A $ 是全要素生產率和 $ L $ 是勞動。通過對生產函式進行對數線性化，我們得到： $$ y=a+\alpha k+\beta l, $$在哪裡 $ y=log(Y) $ , $ k=log(K) $ 和 $ l=log(L) $ . 因此，我們憑經驗估計的模型可以寫成： $$ y_t=a+\alpha k_t+\beta l_t+\epsilon_t, $$ 在哪裡 $ \epsilon $ 是誤差項。假設應用 OLS 我們有估計的參數，即 $ \widehat{a} $ , $ \widehat{\alpha} $ 和 $ \widehat{\beta} $ .
問題只做 $ \widehat{a} $ 參考 $ TFP $ ， 或者 $ TFP=\widehat{a}+\epsilon $ ? 據我所知， $ \epsilon $ 也稱為索洛殘差。請詳細說明。
謝謝！
全要素生產率（TFP）為 $ a+\epsilon_t $ 在哪裡 $ a $ 是平均 TFP 和 $ \epsilon_t $ （Solow 殘差在技術上實際上是 $ \Delta \epsilon $ ) 告訴我們 TFP 如何隨時間變化。讓我解釋：
首先， $ A $ 也應該是時間序列模型中的時間函式，因為技術可以改變（我懷疑你想施加限制，技術必須是恆定的，如果是這樣，那麼有時間變化的殘差就沒有意義了）所以實際上生產函式應該是這樣的：
$$ Y_t = A_t K_t^{\alpha} L_t^{\beta} $$
因此對數線性化會給我們：
$$ y_t = a_t + \alpha k_t + \beta l_t, $$
其中小寫字母表示日誌 $ \ln X =x $ . 現在，當您在指定 OLS 時出錯。這 $ a_t $ 實際上是殘差。因為我們只能觀察 $ k_t $ 和 $ l_t $ 我們不能包括 $ a_t $ 在回歸中，它將是殘差，因為它可以計算為：
$$ y_t - \alpha k_t - \beta l_t = a_t, a_t \equiv TFP $$
所以實際上 $ a_t $ 是殘差 $ \epsilon_t $ . 所以規範將是：
$$ y_t = \alpha k_t + \beta l_t + \epsilon_t. $$
然而，上述規範是不必要的限制，因為它強制 TFP 具有 0 均值（儘管我們總是可以重新調整任何變數的均值為零，這可能會產生偏差 $ \hat{\alpha} $ 和 $ \hat{\beta} $ ）。因此，我們可以添加一個常數項 $ \beta_0 $ 到上面的回歸。
$$ y_t = \beta_0+ \alpha k_t + \beta l_t + \epsilon_t. $$
在這種情況下，全要素生產率 ( $ \ln A_t $ ） 將會 $ \ln A_t = \beta_0+ \epsilon_t $ 在哪裡 $ \beta_0 $ 代表平均要素生產率和 $ \epsilon_t $ 將是隨時間推移與平均值的偏差（參見Van Beveren, I. (2012)。全要素生產率估計：實用評論和其中引用的來源 - 來源談論面板數據應用，但我認為基本解釋即使在純時間序列，即使時間序列有其自身需要注意的問題）。如果您想假設 TFP 是恆定的，也如開頭所述 $ A_t=A $ 然後 $ \epsilon_t=0, \forall t $ .
最後，Solow 殘差實際上是用增長術語定義的，所以實際上它是 $ \Delta \ln A_t = \beta_0 +\epsilon_t - (\beta_0 + \epsilon_{t-1}) = \Delta \epsilon_t $ ，因為 Solow 殘差被定義為生產力增長（參見 Barro & Sala-i-Martin Economic Growth 2nd ed. pp 434-435）。
PS：如果你真的要對時間序列進行估計，你應該考慮到所有序列很可能是 $ I(1) $ 並以一階差分估計整個模型，其中常數的解釋是 TFP 的平均增長率。在上面我沒有探討這個問題，以避免不必要地增加更多的混亂。