在給定總成本的情況下尋找產量（謝潑德引理）
例如，給定一個總成本函式， $$ C = q {w}^{3/4}{v}^{1/4} $$ 和 Shephard 引理，你如何找到潛在的生產函式 $ q(k,l) $ ?
對於這個例子，Shephard 引理提供了恆定的輸出需求函式： $$ {l}{c} = \frac{3}{4}q({\frac{v}{w}})^{1/4} $$ $$ {k}{c} = \frac{1}{4}q({\frac{w}{v}})^{3/4} $$
我們如何使用這些資訊來查找 $ q(k,l) $ ?
要找到生產函式，您可以求解 $ \frac{v}{w} $ 在 $ {l}{c} $ 和 $ {k}{c} $ 並設置 $ \frac{v}{w} $ = $ \frac{v}{w} $ 然後解決 $ q $ .
這將產生
$$ \frac{v}{w} = (\frac{4{l}{c}}{3q})^{4} $$ $$ \frac{v}{w} = (\frac{4{k}{c}}{q})^\frac{-4}{3} $$
設置兩個方程相等
$$ (\frac{4{l}{c}}{3q})^{4} = (\frac{4{k}{c}}{q})^\frac{-4}{3} $$ 以雙方的力量 $ 1/4 $ 這消除了左表達式中的指數 $$ (\frac{4{l}{c}}{3q}) = (\frac{4{k}{c}}{q})^{-1/3} $$
然後解決 $ q $
$$ (q^{-4/3}) \frac{4l_c}{3}= 4^{-1/3} k_c^{-1/3} $$ 把雙方的權力 $ -3 $ $$
(q^4) \frac{3^3}{4^3 l_c^{3}}= 4 k_c $$ $$ q^4= \frac{256k_c l_c^{3}}{27} $$ 這是生產函式 $$ q(k,l)= \frac{4k^{1/4} l^{3/4}}{27^{1/4}} $$