同位生產函式和利潤函式
我知道類比生產函式意味著成本函式在輸入價格和輸出中是乘法可分的，它可以寫成 C(w,y)=h(y)C(w,1)。在同位生產函式的情況下，有人可以幫我推導出利潤函式的函式形式嗎？
我認為這是這個問題的答案；正如我們所知，利潤最大化問題給出為，
$$ \pi(p,w) = \mathop{max}_{\textbf{y}}\quad p.y - C(\overrightarrow{w},y) $$ 什麼時候 $ f(\overrightarrow{x}) $ 是同位的， $$ C(\overrightarrow{w},y)=h(y).C(\overrightarrow{w},{1}) $$ 代入利潤函式給出；
$$ \pi(p,w) = \mathop{max}_{\textbf{y}}\quad p.y - h(y). C(\overrightarrow{w},1) $$ 一階條件給了我們；
$$ p=h’(y)C(\overrightarrow{w},1) $$ 可以寫成；
$$ h’(y)=\frac{p}{C(\overrightarrow{w},1)} $$ 或者
$$ y=(h’)^{-1}\frac{p}{C(\overrightarrow{w},1)} $$ $$ \Rightarrow y= \gamma(p).\beta(w) $$ 所以 $ y(p,w) $ 是可分離的。自從
$$ \pi(p,w)=\int{y(p,w)}dp $$ $$ \pi(p,w)=\int{\gamma(p).\beta(w)}dp $$ $$ \pi(p,w)=\beta(w)\int{\gamma(p)}dp $$ $$ \pi(p,w)=\beta(w)\alpha(p) $$ 因此 $ \pi(p,w) $ 在要素價格和產出價格上也是可分的。