生產函式
我們如何估計生產函式？
在標準的經濟學教育中，我們學習生產函式，將產出表示為給定的資本和勞動力投入的函式。
一個平均模型如下所示：
(1) $ F(L,K)=L^{a}K^b $
然而，在處理真實數據時，我們首先會接觸到本質上是加法的回歸模型，如下所示：
(2) $ y_i={\beta}_0+{\beta}_1x_1+{\beta}_2x_2+…+{\beta}_nx_n $
在處理真實數據時，我們如何獲得類似於 (1) 的生產函式？
如果我們要通過線性回歸估計參數，以下是基本思想。
- 取生產函式的自然對數 $ F(L,K)=L^aK^b $ ，然後你會得到$$ \ln(F)=a\ln(L)+b\ln(K). $$
- 對於每個實體（例如，公司） $ i $ ，收集生產層面的數據 $ F_i $ , 勞動量 $ L_i $ , 和資本金額 $ K_i $ . 請注意，可能會出現測量問題，重要的是要明確說明如何解釋“生產”、“勞動力”和“資本”，以及如何測量它們。
- 應用轉換 $ X_i\mapsto \ln(X_i) $ 對於每個變數 $ X_i $ 對於每個實體 $ i $ 在您的數據集中。（如果有 $ X_i $ 這樣 $ X_i\leq 0 $ 那麼這將不起作用。您可以刪除這些觀察 $ X_i $ 為此 $ X_i\leq 0 $ . 如果是真實數據，請考慮以下問題。“為什麼是 $ X_i\leq 0 $ ? 數據集是否被錯誤註冊？”）經濟學家也應用了這種轉換 $ X_i\mapsto\ln(X_i+\epsilon) $ 作為一個近似值 $ X_i\geq0 $ 和 $ X_i=0 $ 對於一些 $ i $ ， 在哪裡 $ \epsilon>0 $ 是一個很小的數字。
- 現在，回歸 $ \ln(F) $ 在 $ \ln(L) $ 和 $ \ln(K) $ 假設截距項等於 $ 0 $ . 這為您提供估計值 $ \hat{a} $ 和 $ \hat{b} $ 的 $ a $ 和 $ b $ . 因此，你估計的生產函式，它應該捕捉一些關於生產的一般趨勢，是$$ \hat{F}(L,K)=L^\hat{a}K^\hat{b}. $$
- （如果生產函式寫成 $ F(K,L)=AL^aK^b $ ， 在哪裡 $ A $ 例如擷取技術，你會得到一個攔截項 $ \ln(A) $ .)
如果我們使用非線性回歸，那麼我們採用非線性最小二乘 (NLLS) 估計 $ a $ 和 $ b $ 通過解決$$ \min_{a,, b}\sum_i\big(F_i-L_i^aK_i^b)^2. $$數值計算軟體（使用諸如Gauss-Newton 算法之類的算法）可以幫助您找到 NLLS 估計值。