是 ”f(k,l)f(k,l)f(k,l)規模報酬遞減⇔fllfkk−f2kl>0⇔fllfkk−fkl2>0Leftrightarrow f_{ll}f_{kk}-f_{kl}^2>0“總是正確的？
對於製作 $ f(k,l) $ 是連續可微的，是命題
" $ f(k,l) $ 規模報酬遞減 $ \Leftrightarrow f_{ll}f_{kk}-f_{kl}^2>0 $ "
總是正確的，我已經檢查了 Cobb-Douglas 函式，並且相信它也適用於所有恆定彈性函式，有人可以給我一些提示或展示一些反例嗎？
這裡我們定義 $ f(k,l) $ 規模報酬遞減，如果 $ f(tk,tl)<tf(k,l) $ 為了 $ t>1 $ 對全部 $ (k,l) $ 在域中。
一般來說，這種說法是錯誤的。這是一個反例：
假設你有 $ f(k,l) = -k l^\beta $ 和 $ \beta >0 $ 和 $ (k,l)\in\mathbb{R}^2_{++} $ （你可以解釋 $ f $ 作為“壞”商品的生產函式）。然後你有： $$ f(tk,tl) = - t^{1+\beta} k l^\beta = t^{1+\beta} f(k,l) < t f(k,l) $$ 以便 $ f(k,l) $ 是規模報酬遞減。
現在讓我們評估 $ f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} $ . 自從 $ f $ 是線性的 $ k $ 我們有 $ f_{kk} $ 是零，所以它是 $ f_{ll}f_{kk} $ . 另一方面，我們有 $ f_{kl} = -\beta l^{\beta-1} $ 所以總的來說我們有： $$ \begin{equation} f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} = 0 - \left[ -\beta l^{\beta-1} \right]^2 = - \beta^2 l^{2(\beta -1)} <0 \end{equation} $$
那麼，訣竅在哪裡？
事實是 $ f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} > 0 $ 不是得出以下結論的充分條件 $ f(k,l) $ 是負半定的，所以 $ f $ 是凹的，因為您還必須對 hessian 矩陣的 1 階主次要的符號施加限制。
但是，如果粗麻布矩陣確實比您得出的結論是負半確定的 $ f $ 是凹的，並且規模收益將隨之遞減，則該陳述成立。