Leontief 函式 勞動/資本邊際產品
求 Leontief 生產函式的勞動邊際產品。例如，
$$ f(L, K) = min{\frac{L}{a}, \frac{K}{b}} $$ 我的嘗試
現在按照我的理解是勞動的邊際產品， $ MP_L $ 無法以“正常”方式找到該函式，因為該函式不可微分。但是，根據定義，勞動邊際產品是指當一個人投入額外的勞動單位時的額外產出。我們假設資本保持不變。
說，我們原來生產 $ q $ 輸出單位。
因此，如果 $ \frac{L}{a}+\Delta L < \frac{K}{b} $ 我們在增加勞動量的地方，那麼我們在等量線的垂直部分（水平軸上的勞動力，垂直軸上的資本）。因此，我們將增加我們的輸出 $ q+\Delta L $ .
如果 $ \frac{L}{a}+\Delta L>\frac{K}{b} $ ，我們仍然會生產 $ q $ 單位。
既然你對勞動力感興趣，讓我們為簡單起見假設資本存量固定為 $ \bar{K} $ . 那麼，資本和勞動力的最優選擇由下式給出：
$$ \frac{L^*}{a}=\frac{\bar{K}}{b} $$ 因此，最優勞動力是：
$$ L^* = \frac{a}{b}\bar{K} $$ 勞動的邊際產量取決於實際勞動與最優勞動的關係：
情況1： $ L = L^* $ . 在標準 Leontief 圖中，與 $ L $ 在水平軸和 $ K $ 在垂直軸上，這是最佳路徑上的任何點（該函式從原點開始並具有斜率 $ \frac{b}{a} $ ）。在這種情況下， $ \dfrac{dQ}{dL}=0 $ .
案例二： $ L > L^* $ . 這是當因素的組合低於 $ \frac{b}{a} $ 小路。在這種情況下， $ \dfrac{dQ}{dL}=0 $ .
案例3： $ L < L^* $ . 這是當因素的組合高於 $ \frac{b}{a} $ 小路。這裡的解決方案取決於多遠 $ L $ 來自 $ L^* $ :
- 案例 3a： $ L^*-L > 1 $ . 這也許是最有可能的情況。在這裡，勞動力的變化仍然導致勞動力水平低下。在這種情況下， $ MP_L = \dfrac{1}{a} $ . 該結果來自比較勞動力變化之前的產出： $ Q_0=\dfrac{L_0}{a} $ 與更改後相比： $ Q_1=\dfrac{L_0 +\Delta L}{a} $ . 從這裡，我們得出結論 $ \dfrac{dQ}{dL}=\dfrac{1}{a} $ . 請注意，在這種情況下，仍然存在通過增加勞動力來增加產量的空間（即我們仍然在案例 3 中）。
- 案例 3b： $ L^*-L = 1 $ . 在這裡，勞動力的變化使我們走上了最佳道路。變化與案例 3a 相同。不同之處在於，增加勞動力會進一步導致產出沒有增加。然後我們回到案例 1。
- 案例 3c： $ L^-L < 1 $ . 在這裡，勞動力的變化比我們實際需要的要多。因此，我們從情況 3 轉移到情況 2。因此變化不是 $ \dfrac{1}{a} $ , 但等於 $ \dfrac{1}{a} \times (L^-L) $ . 換句話說，這種變化與我們在最優路徑中所需的確切勞動力投入量成正比。
一個圖形範例如下所示：
對於任何同等或以上的勞動力 $ L_0 $ ，進一步增加 $ L $ 不變 $ q_0 $ . 然而，當我們在最優路徑之上時（意味著 $ K>\bar{K} $ )，額外的邊際工人確實增加了產量。您可以看到，根據該點與最優值的距離，會出現案例 3 的三種情況。
如果有興趣（我個人對開放經濟學的追求），這裡是圖表的 R 程式碼：
plot(c(0,5), c(0,5), type = "n", xlab = "Labour", ylab = "Capital", yaxt='n', xaxt='n', bty='l', mgp=c(1,1,0)) segments(0, 0, 4.7, 4.7,lwd=2) text(4.9, 4.8, expression(frac(b,a)),cex = 1.3) points(2, 2, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5) segments(2, 2, 2, 5,lwd=2.5) segments(2, 2, 4.7, 2,lwd=2.5) text(4.9, 2, expression(q[0]),cex = 1.3) text(2.4, 1.75, expression(paste("(",L[0],",",bar(K),")")),cex = 1.3) points(3.5, 2, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5) text(3.5, 2.3, expression(L>L[0]),cex = 1.3) points(2, 3.5, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5) text(2.4, 3.5, expression(K>bar(K)),cex = 1.3)
