邊際產品和平均產品

所以我在我的教科書和網上很多地方看到，當邊際產品大於平均產品時，平均產品在增加，當平均產品在下降時，平均產品大於邊際產品。我得到了這一切背後的經濟直覺，但我想知道如何在數學上證明這一點。

這裡簡單解釋一下以生產函式為代表的單一投入產出技術 $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ .

請注意，平均產品 (AP) 定義為 $$ AP(x) = \frac{f(x)}{x} $$ , 邊際產品 (MP) 定義為 $$ MP(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x} = f’(x) $$

現在，我們取函式的導數 $ AP(x) $ ，然後我們有 $$ \frac{\partial AP(x)}{\partial x} = \frac{f’(x)x-f(x)}{x^2} \ = \frac{1}{x}\bigg[f’(x)-\frac{f(x)}{x}\bigg] \ = \frac{1}{x}[MP(x)-AP(x)] $$

自從 $ x $ 表示輸入的電平， $ x>0 $ ，因此我們有， $$ \frac{\partial AP(x)}{\partial x} > 0 \iff MP(x)>AP(x) $$ ， 或者 $$ \frac{\partial AP(x)}{\partial x} < 0 \iff MP(x)<AP(x) $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/25685