準凹度和同質性
如何證明如果 $ f $ 是 1 次嚴格準凹齊次的，則 $ f $ 是凹的？它是 Silberberg & Suen (2001)，第 140 頁的練習。
我根本無法詳細說明任何草圖以留在這裡作為起點。
請注意，準凹度的嚴格性不是必需的，除非您希望因此獲得嚴格的凹度。
採取任何 $ x,y\in\mathbb R^n $ . 觀察到 1 級 (HD1) 的同質性意味著
$$ \begin{equation} f(x/f(x))=f(x)/f(x)=1=f(y/f(y)). \end{equation} $$ 對於任何 $ \alpha\in(0,1) $ ， 讓 $$ \begin{equation} \theta=\frac{\alpha f(x)}{\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)}.\tag{1} \end{equation} $$ 注意 $ \theta $ 也存在於（開）單位區間內。因此，通過準凹度，我們對每個 $ \theta\in(0,1) $ , $$ \begin{equation} f\left(\theta\frac{x}{f(x)}+(1-\theta)\frac{y}{f(y)}\right)\ge\min\left{\frac{x}{f(x)},\frac{y}{f(y)}\right}=1. \end{equation} $$ 使用擴展 LHS $ (1) $ ，我們得到 $$ \begin{equation} f\left(\frac{\alpha x+(1-\alpha)y}{\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)}\right)\ge1. \end{equation} $$ 再次呼叫 HD1，我們有 $$ \begin{equation} \frac{f(\alpha x+(1-\alpha)y)}{\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)}\ge1 \quad\Leftrightarrow\quad f(\alpha x+(1-\alpha)y)\ge \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y), \end{equation} $$ 意思是 $ f $ 是凹的。