簡單索洛模型中的石齒輪生產和多重均衡：複雜的根是否意味著什麼？
我一直在研究一個簡單的索洛模型，該模型具有石齒輪生產技術和資本運動定律，具體如下：
$$ f(k_t)=(k_t-\bar{k})^{0.5} $$ $$ k_{t+1}=(1-\delta)k_t+sf(k_t) $$ $$ k_0>\bar{k} $$
在哪裡 $ \bar{k} $ 是我們生產技術的一些投入要求。帶有一些值的目視檢查為我們提供了下圖。但是從數學上講，我注意到可能存在一些問題。如果我們通過減法從運動定律推導出索洛方程 $ k_t $ 從我們的運動定律的兩邊和我們的生產函式中我們得到： $$ (1-\delta)k_t+s(k_t-\bar{k})^{0.5}-k_t=k_{t+1}-k_t $$ 簡化並註意在穩定狀態下 $ k_{t+1}-k_t=0 $ 我們得到： $$ -\delta k_t+s(k_t-\bar{k})^{0.5}=0 $$ 進一步重新排列，我們得到一個二次方。 $$ \left(\frac{\delta}{s}\right)^2k_t^2-k_t+\bar{k}=0 $$. 注意到二次公式，我們注意到我們的穩態是： $$ k_t^*=\frac{1\pm\sqrt{1-4\left(\frac{\delta}{s}\right)^2k_0}}{2\left(\frac{\delta}{s}\right)^2} $$
我立即看到，對於這樣一個簡單的問題，可能沒有解決方案，因為我們的根源可能很複雜。看看這張圖片，儘管應該有一個解決方案，以解決非博弈論模型中最簡單的多重均衡情況。
複雜的根是否對辨識多個穩定狀態造成了問題，如果他們做了什麼是解決方案（如果有的話）？
當我們談論穩定的資本水平時，用複數來談論是沒有意義的。什麼是穩態的解決方案 $ k^* $ 告訴我們的是：
- 如果不存在唯一的穩態，則可能是 $ 4\left(\frac{\delta^2}{s^2}\right)k_0>1 $
- 如果 $ 4\left(\frac{\delta^2}{s^2}\right)k_0<1 $ 有兩個獨特的穩態。
平衡的穩定性是另一個故事，但這個模型告訴我們的是，至少有兩個穩態，複雜的解是沒有意義的。