貼現因子過低時可達到的最大利潤水平
這是我在工業經濟學本科學習期間遇到的一個問題。所以問題是這樣的：
考慮兩個邊際成本不變的相同公司 $ c $ 它們在無數個時期中的每一個時期都在數量上競爭。在下一場比賽開始之前，兩家公司都會觀察到所選擇的數量。逆需求由下式給出 $ p = 1 – q_{1} – q_{2} $ . 這些公司使用“觸發策略”，如果合作破裂，它們就會恢復到靜態的古諾行為。
- 折扣因子的最低值是多少 $ \delta $ 這樣廠商才能維持壟斷產出水平？
這部分我可以回答和價值 $ \delta $ 維持壟斷產出水平所需的結果是 $ \frac{9}{17} $ .
現在進入問題的第二部分：
- 認為 $ \delta $ 太小，無法維持壟斷產出。特別是，假設 $ \delta = \frac{1}{2} $ . 使用觸發策略可以維持的最有利可圖的子博弈完美均衡是什麼？（認為 $ c = 0 $ 為簡單起見。）
所以我的構想是，為了維持合謀，合謀的利潤必須超過背叛一個時期的利潤加上後續時期的懲罰利潤。
$$ \pi^{C}\frac{1}{(1-\delta)} \geq \pi^{D} + \pi^{P}\frac{\delta}{(1-\delta)} \tag{1} $$ 從問題的第 1 節開始：
$$ \pi^{C} = \frac{(1-c)^2}{8},\quad \pi^{D} = \frac{9(1-c)^2}{64},\quad \pi^{P} = \frac{(1-c)^2}{9} \tag{2} $$ 考慮到 $ \pi^{C} $ 是每家企業在勾結時獲得的利潤，即壟斷利潤除以 2。 所以，對我來說，問題的第 2 部分是詢問 $ \pi^{C} $ （在條件 $ (1) $ ） 什麼時候 $ \delta=\frac{1}{2} $ . 我知道 $ \pi^P $ 保持不變，因為它是古諾利潤，但我猜 $ \pi^D $ 變化，因為它是在假設另一家公司將產生壟斷水平的產量的情況下計算出來的，現在情況不再如此，因為 $ \delta $ 低於維持該輸出水平所需的水平。
你可以看到我有點困惑。誰能幫我？
我不想做所有的代數，但我給你一個提示。你是對的：你被問到 $ \pi^C $ 在您的條件（1）中，您也是對的 $ \pi^D $ 變化。
在您的參數設置中 $ c=0 $ :
$$ \pi^C := \pi (q^C, q^C) = (1- 2 q^C) q^C, $$ 在哪裡 $ q^C $ 是他們協調的數量。 然後 $ \pi^D $ 是來自最佳響應的利潤 $ q^C $ 和一些 $ q^D $ :
$$ \pi^D := \pi (q^D, q^C) = (1- q^C-q^D)q^D, $$ IE， $ q^D = \arg max \quad \pi^D $ . 現在你解決 $ q^D $ 作為一個函式 $ q^C $ 並將其插入 $ \pi^D $ . 讓條件 (1) 等式成立會給你一些 $ q^C $ 你可以插入 $ \pi^C $ 再次。