產能受限的短期價格競爭
我正在讀工業組織的本科課程，在關於短期價格競爭（主要是 Bertrand 和 Cournot 模型）一章的末尾，有一個我正在努力解決的問題。這裡是：
考慮一個有兩家定價公司生產同質產品的市場。需求函式是 q = D(p) = 1 – p，這意味著逆需求 p = 1 – q1 – q2。這兩家公司有產能約束 q1hat 和 q2hat ，其中 q1hat + q2hat = 3/5。對於任何 i = 1,2，qi ≤ qihat 和 qi > qihat 的邊際生產成本為零。最後，假設消費者根據有效配給規則進行配給。
一世。證明如果 q1hat = q2hat ，存在唯一的 Bertrand-Nash 均衡，其中 p1 = p2 = p* = 1 – q1hat – q2hat
ii. 證明當 q1hat ≠ q2hat 時，當公司的能力相差太大時，第 (i) 部分下的均衡就會崩潰。
所以對於第一部分。我基本上改編了本章的部分材料並說：
為了證明這是一個納什均衡，我們需要證明沒有一家公司有動機單方面偏離這個均衡。
假設公司 2 設定價格 p*，公司 1 設定低於 p* 的價格是否有利可圖？答案是不。通過對 p* 收費，公司 1 正好賣出了 q1hat。廠商 1 無論如何不能生產超過 q1hat，因此通過將其價格降低到 p* 以下，它只會以較低的價格出售相同數量的產品，因此利潤會減少。
假設公司 2 設定價格 p*，公司 1 設定高於 p* 的價格是否有利可圖？答案再次是否定的，但現在的論點更加微妙。假設公司 1 設定價格 p ≥ p*。然後它有剩餘需求 1 - p - q2hat，因為在價格 p 時，總市場需求由 1 - p 給出，公司 2 出售 q2hat。公司 1 賺取利潤 Π = p(1 – p – q2hat)。使用逆需求函式，利潤表達式可以寫成 (1 – q1 – q2hat)q1，其中 q1 是公司 1 在價格 p 下的銷售量。請注意，利潤函式 Π = (1 – q1 – q2hat)q1 與在競爭對手選擇產出 q2hat 的情況下選擇產出 q 的公司的利潤函式完全相同。該利潤函式在 q 中是凹函式，即 Π’’(q1) < 0。此外，∂Π/∂q1 = 1 – 2q1 – q2hat。在 q1 = q1hat 處評估，這個導數等於 1 – 2q1hat – q2hat，這是正的，因為 q1hat + q2hat = 3/5 和 q1hat = q2hat 所以 2q1hat + q2hat = 9/10。換言之，如果企業 1 從 q1hat 開始並略微減少其數量，則其利潤將下降。這個結果和利潤函式的凹性確保 q1 低於 q1hat 的任何減少都會減少利潤。另一種說法是，如果公司 1 從 p* 開始並提高其價格，則其利潤將下降。
到目前為止，利潤函式的凹度意味著當我們接近最大邊際利潤時，斜率（或利潤相對於 q 的導數）將越來越接近於 0。
現在是第二部分。得到我，我不知道如何攻擊它。我考慮過兩種情況，一種是 q1hat 接近 3/5，另一種是接近 0。利潤函式及其導數與 i 相同。據我所知，約束 q1hat + q2hat = 3/5 仍然適用，因此無法滿足需求。對我來說，關於設置較低 p 的部分仍然與第 i 部分相同。但是關於將 ap 設置為高於 p* 的部分並不那麼清楚。
有人可以幫忙嗎？
如果公司 1 假設公司 2 生產和銷售它可以生產的最大值，即 $ \hat{q}_2 $ , 那麼企業 1 可以以最大化其收入和利潤為目標
$$ \Pi_1=q_1p = q_1(1-q_1-\hat{q}_2) $$最大化在 $ \left(\dfrac{1-\hat{q}_2}{2}\right)^2 $ 和 $ q_1=\dfrac{1-\hat{q}_2}{2} $ ，至少當公司 1 的最大產量超過這個數量時。如果沒有，那麼公司 1 應該繼續盡可能多地生產。因此，如果公司 1 足夠大，那麼兩家公司都盡可能多地生產可能不是均衡的 例如，假設 $ \hat{q}_1=0.5 $ 和 $ \hat{q}_2=0.1 $ ，總和為 $ 0.6=\frac35 $ 按要求。如果兩家公司都以最大產能生產，那麼價格將是 $ 1-0.5-0.1=0.4 $ 使公司 1 的收入和利潤 $ 0.5\times 0.4=0.2 $
但是如果企業 2 以最大產能生產而企業 1 只生產 $ 0.45 $ ，這將使價格 $ 1-0.45-0.1=0.45 $ 和廠商 1 的收入和利潤 $ 0.45\times 0.45=0.2025 $ 高於 $ 0.2 $ , 公司 2 的利潤也會因價格上漲而增加，這表明在這種情況下，兩家公司都處於最大生產狀態不會是均衡的
總體最大產量為 $ \frac35=0.6 $ , 平衡會以這種方式打破，如果 $ \hat{q}_1\gt \frac25 =0.4 $ 和 $ \hat{q}_2 \lt \frac15 =0.2 $