障礙和回溯選項的 PDE
在 Shreve 的書中，他通過以下方式獲得了障礙期權的 PDE
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$$ V(T) = (S(T) - K)^+\mathbb{II}{{S{\textrm{max}}(T) > B}} $$ 然後使用風險中性定價公式和馬爾可夫性質 $ S(t), $ 我們有它的價值 $$ V(t) = v(t,S(t)) $$ 對於某些功能 $ v(t,x), $ 那麼我們可以有關於障礙期權的 PDE $ v(t,x). $ 但在回顧選項中，他認為 $ S_{\textrm{max}}(t) $ 作為一個新變數 $ y $ 和價值函式變成 $ v(t,x,y), $ 雖然最後 $ v(t,x,y) $ 可以變成一個變數 $ u(t,z). $
所以我的問題是，為什麼障礙中有一個變數，而回溯中有兩個變數，或者它們只是等價的？
不同之處在於障礙選項是弱路徑相關的，而回溯選項是強路徑相關的。
在敲除障礙期權的情況下，以期權在定價時有效為條件，您不需要攜帶任何額外的狀態變數，除了目前資產價格。收益不直接取決於水平 $ S_{\text{max}}(0, T) $ 除了通過生存指標。鑑於目前位置 $ S(t) $ 並且以沒有先前的淘汰賽為條件，您可以計算的聯合密度 $ \left( S(T), S_{\max}(t, T) \right) $ . 有關資訊 $ S_{\max}(0, t) $ 在這種情況下與回報無關。
在回溯期權的情況下，收益直接取決於 $ S_{\max}(0, T) $ . 因此，您需要引入第二個狀態變數並獲得二維 PDE。事實證明，在回溯選項的情況下，後者的維度可以減少，因為價格在兩個狀態變數中是一階齊次的 $ S(t) $ 和 $ S_{\max}(0, t) $ .
另請參見 Wilmott (2006) “Paul Wilmott on Quantitative Finance”，Wiley 中的第 22 章“外來和路徑依賴衍生物簡介”。