不同因素的相關維納過程
我在這個領域相對較新，所以我有幾點需要澄清。
我想知道如何估計為具有兩種不同風險來源的模型實施 Cholesky 分解所需的相關矩陣。
讓我們以 Heston 模型為例，其中我們有兩個布朗運動， $ W_{s} $ 和 $ W_{v} $ .
在由兩隻股票組成的投資組合的情況下，為了能夠模擬相關路徑：
- 如何估計兩隻股票的變異數過程的相關矩陣？移動平均標准或其他方法？
- 因為在赫斯頓模型中 $ W_{s} $ 和 $ W_{v} $ 是相關的，所以我們有 $ \rho_{1}=corr(W_{1s},W_{1v}) $ 對於第一個資產和 $ \rho_{2}=corr(W_{2s},W_{2v}) $ 對於第二個資產，我是否必須獲得兩個不同的維度矩陣 $ 2\times2 $ （每個股票一個）或一個維度矩陣 $ 4\times4 $ ?
先感謝您！
您需要獲得一個 $ 4 \times 4 $ 相關矩陣。正如您有效觀察到的，您有四個隨機程序驅動系統，其中 $ i \in 1,2 $
$$ \frac{dS_i}{S_i} = \mu_i dt + \sqrt{v_i} dW_{Si} \ dv_i = \kappa(\bar{v}{i}-v_i) dt + \xi \sqrt{v_i} dW{vi} $$ 每一個 $ W_{ji},j\in{S,v},i\in 1,2 $ 是與其他相關的布朗運動，係數為 $ \rho_{i_1,j_1}^{i_2,j_2} $ .
因為 $ v $ 沒有觀察到，你不能從歷史市場數據倒推到 $ W_{ji} $ ，因此您無法以“通常”的方式獲得相關性。
您可以估計每個單獨模型的參數（包括 $ \rho_{i,j_1}^{i,j_2} $ 值）通過校準歷史時間序列數據或期權市場（取決於您的應用程序）。這給你留下了一組互相關 $ \rho_{i_1,j_1}^{i_2,j_2},i_1\neq i_2 $ 估計，你可能缺乏籃子選項來校準它們。
由於聯合終端分佈的複雜性，您可以使用Gibbs Sampling對這些進行歷史校準。或者，您可以只使用基於簡單關係的估計。也就是設
$$ \rho_{1,S}^{2,S} = \text{Corr}\left( \text{Ret}({S_1}), \text{Ret}({S_2}) \right)\ \rho_{1,v}^{2,v} = \text{Corr}\left( \left{\sigma_1^{\text{implied}}\right}, \left{\sigma_2^{\text{implied}}\right} \right) \ \rho_{1,S}^{2,v} = \rho_{1,v}^{2,S} = 0 $$ 您不太可能（在我看來）使估計錯誤大於您的模型錯誤。
感謝您的回答。實際上，我雖然使用類似的方法，但使用歷史收益併計算滾動波動率，獲得相關性的後向度量。
還有一個問題：有 $ corr({\sigma_{1}^{implied}},{\sigma_{2}^{implied}]) $ 您是指從一系列期權（例如，每個可用期限的 ATM）或其他類型的隱含波動率計算的相關性？
然後，將所有這些項加在一起，並在互相關上留下 0，最終的相關矩陣可能不是正定的。你有什麼想法？