如何推斷相關性？
假設有一個相關矩陣 $ \Omega $ 用於生成蒙特卡羅模擬的 25 個資產。讓我們假設 $ \Omega $ 是有效的（即半正定等），並根據市場數據進行經驗估計。
現在假設我想添加一個風險因素 $ r $ ，但我只知道相關性 $ \rho $ 給定資產的風險因素 $ m $ . 作為 $ r $ 不容易觀察到，我不能將其包括在經驗估計中。另外，交易者不能在不使相關矩陣無效（即不再是正定）的情況下標記與剩餘 24 種資產的相關性。
其實我在想：
生成 $ N $ 相關性已知的 25 種資產的相關標準正態數
- 產生一個集合 $ Z $ 大小的 $ N \times 25 $ .
取自 $ Z $ 資產對應的隨機數 $ m $ , 讓我們表示它們 $ Z_m $ ，它是一個向量 $ N $ 標準正態隨機數
關聯一組新的獨立標準正態數 $ X $ 和 $ Z_m $
- 屈服 $ Y $ , 大小向量 $ N $
“附加” $ Y $ 到 $ Z $ .
有人建議我做一些不同的事情：
延長 $ \Omega $ 添加 $ r $
環境 $ \Omega_{r,m}=\rho $
對於每項資產 $ i $ 在 $ \Omega $ 這樣 $ i \neq r,m $ :
- 放 $ \Omega_{r,i}=\Omega_{m,i} \cdot \Omega_{r,m} $
關聯 $ Z $ 如上面第一點所述。
從理論上講，這些方法中的一種是否“比另一種更正確”？
有沒有另一種常見的方法來解決這類問題？
你有風險因素 $ F $ 以及與之相關的資產 $ r_m $ . 你可以計算每一個的變異數，比如 $ \sigma^2_F $ 和 $ \sigma^2_m $ . 如果您不關心分佈，而只是處理變異數和相關性，則可以查看 OLS 設置：
$$ F = \beta r_m + \epsilon $$ 和 $ \beta = \rho \frac{\sigma_F}{\sigma_m} $ 和 $ \epsilon $ 不相關。然後保留協變數： $$ Cov(F,r_m) = Cov(\beta r_m + \epsilon, r_m) = Cov(\beta r_m,r_m) = \beta \sigma^2_m = \rho \sigma_m \sigma_F. $$ 如果我們假設 $ \epsilon $ 與所有其他不相關 $ r_i $ 然後對於任何其他資產 $ r_i $ 你有
$$ Cov(F,r_i) = Cov(\beta r_m + \epsilon, r_i) = \beta Cov(r_m,r_i), $$ 你得到一個完整的共變異數矩陣。在這種情況下 $ \epsilon $ 與 $ r_i $ 你加 $ Cov(\epsilon,r_i) $ . 如果您只對共變異數感興趣，這可能是一種方法。