布朗運動與 Cholesky 分解之間的相關性
我知道這是一個非常基本的問題（我是量化金融的新手），但布朗運動相關性背後的邏輯是什麼？
表達式為：
這個公式是從哪裡來的？
另一方面，當有兩個以上的運動時，過程是將 Cholesky 分解應用於共變異數矩陣。為什麼這是必要的？
非常感謝！
我假設，第一個方程是關於創建 2 個相關的標準正態隨機變數。然後 $ X_1 = Z_1 $ 和 $ X_2 = \rho Z_1 + \sqrt{1- \rho^2}Z_2 $ 與相關性相關 $ \rho $ . 可以通過計算共變異數來證明這一點。 $$ \text{Cov}(X_1, X_2) = \mathbb{E}(X_1X_2) - \mathbb{E}(X_1) \mathbb{E}(X_2) = \rho \mathbb{E}(Z_1^2) + 0 = \rho $$ $$ \text{Corr}(X_1, X_2) = \frac{\rho}{\sigma_{X_1}\sigma_{X_2}} = \rho $$
如果您想要更多，情況會稍微複雜一些 $ X_i $ 關聯。然後你會得到一個共變異數/相關矩陣。讓我們考慮共變異數矩陣（ $ \Sigma $ ）。我們希望保持以下屬性： $$ \text{Cov}(X, X) = \Sigma $$ 那麼如果你有 $ {U_i} $ iid 標準正態變數，以及共變異數矩陣的 Cholesky 分解 ( $ \Sigma = J J^T $ )，您可以創建所需的相關 X 變數，如下所示： $$ X = JU \text{ , then } $$ $$ \text{Cov}(X, X) = \mathbb{E}(X X^T) - \mathbb{E}(X) \mathbb{E}(X^T) = \mathbb{E}(JUU^TJ^T) - 0 = J \mathbb{E}(UU^T)J^T = J I J^T = \Sigma $$
您也可以將此方法用於 2 變數情況，在這種情況下，共變異數矩陣如下所示 $ \begin{bmatrix} 1 & \rho \ \rho & 1 \end{bmatrix} $ . 但是由於這個矩陣中唯一的變數是 $ \rho $ ，我們喜歡簡化這種情況。對於更多變數，這是不可行的，因為自由參數的數量是 $ n (n-1)/2 $ ，它以二次方增長，因此您必須使用矩陣解決方案。
**注意：**不必使用 Cholesky 分解。你可以使用任何 $ A $ 矩陣滿足 $ \Sigma = A A^T $ ，但大多數時候這是最簡單的選擇。