對數正態資產和正態資產的相關性
因此，如果我想計算一對資產之間的相關性，我的直覺是我應該計算我計劃使用的任何相關性；
當我們查看相關性時，通常是對數收益的相關性——從 MC 的角度來看，這是有道理的，因為它是相關的隨機數產生了收益。
如果我想模擬一對資產的一組路徑，一個將使用對數正態返回過程進行模擬，另一個將使用隨機正態遊走（絕對），那麼我應該將每個時間序列轉換為隨機數序列，當完成我將使用的過程時，會重新創建它們 - 然後獲取這些數字的相關性（假設我只使用歷史相關性）？
即計算底層隨機序列的相關性。
這個對嗎？
讓 $ (X_t)_{t\geq 0} $ 表示幾何布朗運動
$$ \frac{dX_t}{X_t} = \mu_X dt + \sigma_X dW^X_t,\ \ \ X(0) = X_0 $$ 這樣 $ X_t $ 是對數正態分佈的 $ \forall t > 0 $ $$ X_t = X_0 e^{(\mu_X - \frac{1}{2}\sigma_X ^2)t + \sigma_X W_t^X} $$ 讓 $ (Y_t)_{t\geq 0} $ 表示算術布朗運動
$$ dY_t = \mu_Y dt + \sigma_Y dW_t^Y,\ \ \ Y(0)=Y_0 $$ 這樣 $ Y_t $ 是正態分佈的 $ \forall t > 0 $ $$ Y_t = Y_0 + \mu_Y t + \sigma_Y W_t^Y $$ 考慮驅動布朗運動之間的瞬時相關性 $ W^X $ 和 $ W^Y $
$$ \rho := \frac{d\langle W^X, W^Y\rangle_t}{dt} $$ **$$ Proposition $$**指定瞬時相關性 $ \rho $ 在兩個驅動布朗運動之間意味著兩個正態變數 $ \ln X_t $ 和 $ Y_t $ 表現出終端相關性 $ \rho $ .
**$$ Proof $$**要看到這一點，請注意
$$ \begin{align} \ln X_t &= \ln X_0 + (\mu_X - \frac{1}{2}\sigma^2_X)t + \sigma_X W^X_t \ &= \ln X_0 + (\mu_X - \frac{1}{2}\sigma^2_X)t + \sigma_X (\rho W^Y_t + \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t) \end{align} $$ 因此共變異數寫道 $$ \begin{align} \text{cov}(\ln X_t,Y_t) &= \text{cov}(\ln X_0 + (\mu_X - \frac{1}{2}\sigma^2_X)t + \sigma_X (\rho W^Y_t + \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t), Y_0 + \mu_Y t + \sigma_Y W_t^Y) \ &= \text{cov}(\sigma_X (\rho W^Y_t + \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t), \sigma_Y W_t^Y) \ &= \text{cov}(\sigma_X \rho W^Y_t, \sigma_Y W_t^Y) + \text{cov}(\sigma_X \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}t, \sigma_Y W_t^Y) \ &= \rho \sigma_X \sigma_Y \underbrace{\text{cov}(W^Y_t, W^Y_t)}{=t} + \sqrt{1-\rho^2}\sigma_X \sigma_Y \underbrace{\text{cov}(W^{Y,\perp}t,W_t^Y)}{=0} \ &= \rho \sigma_X \sigma_Y t \end{align} $$ 通過共變異數運算元的雙線性並使用以下事實 $ W^{Y,\perp}_t \perp W^Y_t $ . 同時我們有： $$ \text{var}(\ln X_t) = \sigma_X^2 t $$ $$ \text{var}(Y_t) = \sigma_Y^2 t $$ 以便 $$ \text{corr} = \frac{\text{cov}(\ln X_t,Y_t)}{\sqrt{\text{var}(\ln X_t)\text{var}(Y_t)}} = \frac{\rho \sigma_X \sigma_Y t}{\sigma_X \sqrt{t} \sigma_Y \sqrt{t}} = \rho $$ 展示結束