分解相關交換 pnl
對於變異數交換，我們可以將 pnl 拆分為已實現部分和“前進”部分。更準確地說：
假設我們在 t0 進入交易，並且變異數掉期具有期限 T 和行使價 $ Kvar $ . 當時 $ t0< t < T $ 我們看看變異數交換的價值。我們將看到： $ V (t_0; t) = \lambda ( Var_{realized} - Kvar ) + (1-\lambda)(Knew - Kvar ) $ 在哪裡 $ \lambda $ 是已經過去的時間分數。
在我看來，這種分解對於相關交換是不可能的，而僅適用於共變異數交換。由於相關互換取決於已實現的波動率。並不能以這種方式分解已實現的波動率。
更準確地說，我將定義相關交換的含義。相關互換針對 N 個股票。交換開始於 $ t_0 $ 並結束於 $ T $ 假設在 t0 和 T 之間正好有 M 個交易日。成熟時 $ T $ 支出將是 $ \hat{\rho} - K $ ， 在哪裡 $ \hat{\rho} $ 是實現的相關性（將在下面定義）。
為了 $ i=1,..,N $ 我們有每日實現的回報 $ R_i(t_k) = ln\left(\frac{S_i(t_{k+1})}{S_i(t_k)} \right) $ . 實現的相關性 $ \hat{\rho} $ 超過時間間隔 $ [t_0, T] $ 被定義為 $ \hat{\rho} = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i,j} \frac{COV(i,j)}{\sigma_i \sigma_j} $ . 在這個等式中，我們定義 $ COV(i,j) = \frac{1}{m-1}\sum_{k = 1}^{M} (R_i(t_k) - \bar{R_i}) (R_j(t_k) - \bar{R_j}) $ . 所以 COV(i,j) 衡量的是股票 i 和 j 在時間間隔內實現的相關性
$$ t0, T $$. 實現的體積 $ \sigma_i $ 和 $ \sigma_j $ 被類似地定義為 $ R_i $ . 因此，每個交易日每對 i,j 的已實現相關性度量是什麼相關性。掉期支付已實現（如上定義）和固定罷工之間的差額。
如果我們及時查看交易，PNL 會發生什麼 $ t0 < t < T $ ? 如果交換在時間上是線性的 $ t_k $ 然後我們可以將價格分成一個直到 t 實現的部分，然後用新的掉期替換剩餘部分。
所以我的問題是：
- 你同意這個decomp不能用於相關交換嗎？
- 如果有人會這樣做，那麼錯誤有多嚴重？
- 有什麼比上面討論的 decomp 更好的替代方法？
謝謝
我假設這種分解在變異數交換的情況下是可能的，因為變異數在某種意義上是可分解的
$$ V = VAR(R_1+ \cdots + R_N) \approx \frac1N \sum_{i=1}^N R_i^2 . $$ 這對於任何 $ n \le N $ 我們可以寫 $$ V \approx \frac1N \sum_{i=1}^n R_i^2 + \frac1N \sum_{i=n+1}^N R_i^2 = \frac n N \frac1n \sum_{i=1}^n R_i^2 + \frac{N-n}{N} \frac{1}{N-n} \sum_{i=n+1}^N R_i^2. $$ 在上面的公式中，您看到的權重取決於相對於總週期和變異數項的時間。 我不認為這對於相關交換是可能的。對於已實現的相關性以及隱含的相關性，您會在分母中得到不可解釋的術語。