推導單因素模型

考慮以下回歸，具有公因子 $ x $ :

$ y_1 = \beta_1 \cdot x + \gamma_1 \cdot \epsilon_1 $

$ y_2 = \beta_2 \cdot x + \gamma_2 \cdot \epsilon_2 $

和 $ \epsilon_1 $ , $ \epsilon_2 \tilde{} N(0,1) $ 像往常一樣，和 $ Cov(x, \epsilon_j) = 0 $ ， 對全部 $ i $ .

你如何推導出下面的單因素模型？

$ y_1 = \sqrt{\rho} \cdot x + \sqrt{1 - \rho} \cdot \epsilon_1 $

$ y_2 = \sqrt{\rho} \cdot x + \sqrt{1 - \rho} \cdot \epsilon_2 $

在哪裡 $ \rho $ 是之間的相關性 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ .

我一直在尋找這方面的證據，但在任何地方都找不到…

經過一番探勘，我發現您可以在以下假設下推導出單因素模型：

$ \beta_1 = \beta_2 $

$ \gamma_1 = \gamma_2 $ .

此外，我們要求 $ Cov(\epsilon_1, \epsilon_2) = 0 $ 和 $ Cov(\epsilon_i, x) = 0 $ 為了 $ i = 1, 2 $ .

最後，我們需要 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 被規範化 $ \tilde{} N(0, 1) $ 使相關性等於共變異數。

這邊走：

$ \sigma_i^2 = \beta^2 + \gamma^2 $

$ \sigma_{i,j} = \beta^2 $

我們可以推導出上述內容。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/24419