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使用價格估計共變異數矩陣
我們通常使用收益而不是價格來估計資產的共變異數矩陣。為什麼會這樣？
我可以想到兩個可能的原因，並希望得到有關它們的評論/回饋：
- 兩個非平穩時間序列的相關性是虛假的，因為它們中嵌入了趨勢。
- 價格差異沒有意義。考慮價格序列為 {100, 105, 101, 104, 102, 103} 和 {100, 101, 102, 103, 104, 105} 的兩個資產。顯然，第一個資產更“可變”。但兩者的價格差異完全相同。
在實際應用中，使用價格估計的共變異數矩陣實際上表現更差嗎？
出於同樣的原因，您無法使用單個資產的價格來有意義地測量共變異數/相關性……相關性（擴展共變異數）表示與單個均值偏差的關聯。如果平均值繼續變化（即，所考慮的系列不是靜止的），您無法表示這一點。共變異數矩陣中表示的多個資產也是如此。
如果您假設金融資產價格的變化是一個維納過程，那麼您可以將該資產的未來價值視為初始值加上獨立每日變化的總和（對於基於股權或回報的情況，您需要日誌版本這個的）：
$$ S_t = S_0 + \sum \Delta S_i $$
在哪裡 $ \Delta S_i = S_i - S_{i-1} $ 是一個維納過程。
您也可以為第二個資產聲明相同的內容 $ T_t $ .
如果您要評估絕對價格的共變異數（而不是變化），那麼您有：
$$ Cov(S,T) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^n (S_t - E[S])(T_t - E[T]) $$
如果你認識到（在維納過程下） $ E[S] = S_0 $ 和 T 一樣，然後你擴展它得到：
$$ \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n (\sum_{i=1}^t \Delta S_i)(\sum_{i=1}^t \Delta T_i) $$
因此共變異數結果由初始變化而非任何後者支配，這在假設的定價過程下是無效的。