如何擴展對數正態模型使得σσsigma與μμmu?
考慮一個對數正態模型， $ dx / x = \mu dt + \sigma dW $ ， 在哪裡 $ W(t) $ 是維納過程。
比方說 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 隨著時間慢慢變化，所以我們用 $ \mu(t) $ 和 $ \sigma(t) $ .
考慮 $ dx / x $ , 其中漂移率為 $ \mu $ ，波動率是 $ \sigma \sqrt{dt} $ . 這裡， $ \mu(t) $ 和 $ \sigma(t) $ 不相關。
現在，如果在某些情況下數據顯示出很強的相關性，例如當 $ \mu(t) $ 往上， $ \sigma(t) $ 也會上升——這兩個幾乎是線性關係，比如 $ \sigma(t) = \sigma_0 + k \mu(t) $ ——我怎麼能為此設定一個模型？
當然，我可以把它說成
$$ dx/x = \mu(t) dt + (\sigma_0 + k \mu(t)) dW $$ 但我想知道，對於這種情況，是否有一些已經建立的模型/方法？例如，對於一般隨機模型，有 HJM，對於均值反向，有 Hull-White，對於股票價格，有對數正態。
是否有一些模型已經研究過，甚至更好，在工業中使用，擴展對數正態模型 $ dx / x = \mu dt + \sigma dW $ ， 以便 $ \mu(t) $ 和 $ \sigma(t) $ 會相關嗎？
正如@Rustam 指出的那樣，在您描述的意義上，確定性函式的“相關性”是允許的特殊情況 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 具有任意形狀的期限結構。由於後者很容易治療，沒有人會為它的限制形式而煩惱。
現在，有相當多的人處理模型 $ \sigma $ 改變 $ S $ . 我特別考慮局部波動率模型，它有一個明確的表面 $ \sigma(S,t) $ 以匹配普通期權市場。這些用於異國情調的辦公桌（模型有時也有跳躍項）。