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MonteCarlo 的主成分分析與 Cholesky 分解
假設我們有一個包含大量（約 500 個）風險因素的投資組合。我們想模擬投資組合動態。基於 PCA 的模擬會更快，因為我們可以降低維度。與使用 Cholesky 分解的 Monte Carlo 相比，基於 PCA 的方法 Monte Carlo 是否還有其他優勢（例如穩定性、更真實的動力學）？我看過有關商品遠期曲線的季節性影響的論文、收益率曲線的應用以及這裡的一篇文章。但是，我正在尋找有關該主題的更深入的內容。歡迎任何參考或實踐經驗。
除了數值穩定性誤差之外，Cholesky 和 PCA（沒有暗淡減少）應該產生完全相同的分佈，它們是相同共變異數矩陣的兩個對稱分解，因此對於轉換標準法向量是等價的。當然，當使用 PCA 組件做不同的事情時，例如在暗淡減少或準蒙地卡羅採樣或相關的變異數減少方法中，根據定義，等價性會失去，但對於標准採樣來說，它是存在的。Cholesky 的一個優點可能是儲存和乘法一個三角矩陣比一個完整的平方矩陣需要更少的資源。如果共變異數矩陣不是 PD，則樞軸用於 Cholesky（參見Higham 的這篇論文）。
連結中混淆的一個來源可能是估計和抽樣之間缺乏明確的分離。估計後，您應該有一個 PSD 矩陣，用於採樣的分解與它無關。（估計方法也可以比簡單的樣本共變異數更好，這方面有大量文獻。）
請注意，在發布的第二個連結中，“清理”非 PSD 矩陣以獲得相關矩陣的過程在將負特徵值歸零後忘記了一步：您還必須縮放行和列以恢復對角線上的行和列。並且還有更好的方法來進行清理，這不是返回最近的 PSD 相關矩陣。此外，該頁面寫得不好，而且恕我直言，如果沒有成熟的錯誤，請尋找其他內容，例如 Glasserman 的 Monte Carlo 書。