兩個相關的 Ornstein-Uhlenbeck 過程的共變異數是多少？
兩個相關的 Ornstein-Uhlenbeck 過程的共變異數是多少？我正在嘗試相關性(1,2)Var1^(1/2)Var2^(1/2)，但我不確定！我相應地採用了 Var1=(sigma1^2/(2speedofmeanreversion1))(1-exp(-2speedofmeanreversion1dt)) 和 Var2。謝謝你。
使用https://en.wikipedia.org/wiki/Ornstein%E2%80%93Uhlenbeck_process#Solution
$$ X^i_t = (X^i_0 + \int_0^t\sigma_i e^{a_i u} dB^i_u)e^{-a_it} $$ 和
$$ X^i_t-\mathbb{E}[X^i_t] = e^{-a_it} \int_0^t\sigma_i e^{a_i u} dB^i_u $$ 因此 ：
$$ \text{Cov}(X^1_t,X^2_t)=\mathbb{E}\left[e^{-a_1t} \int_0^t\sigma_1 e^{a_1 u} dB^1_u e^{-a_2t} \int_0^t\sigma_2 e^{a_2 u} dB^2_u\right] $$ 而如果 $ d\langle B^1_t,B^2_t \rangle=\rho_{12}dt $
$$ \begin{split} \text{Cov}(X^1_t,X^2_t)=& \mathbb{E}\left[e^{-(a_1+a_2)t} \int_0^t \sigma_1\sigma_2 e^{(a_1+a_2) u} \rho_{12} du\right]\ &=e^{-(a_1+a_2)t} \int_0^t \sigma_1\sigma_2 e^{(a_1+a_2) u} \rho_{12} du\ & =\frac{\sigma_1\sigma_2\rho_{12}}{a_1+a_2}\left(1-e^{-(a_1+a_2)t}\right) \end{split} $$ 如果你想證明最後一個公式，你需要：
- 事實 $ B^2_t = \rho_{12}B^1_t+\sqrt{1-\rho_{12}^2}B^\perp_t $
- https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_variation#Martingales
- 事實是 $$ 2\mathbb{E}[M_tN_t]=\mathbb{E}[(M+N)^2_t]-\mathbb{E}[M^2_t]-\mathbb{E}[N^2_t] $$ 和 $ M_t=\int_0^t\sigma_1 e^{a_1 u} dB^1_u $ 和 $ N_t=\int_0^t\sigma_2 e^{a_2 u} \rho_{12} dB^1_u $