證明看跌期權平價
在我關於看跌期權平價的課程筆記中，證明是通過兩個不等式提出的，即 $ \text{RHS} > \text{LHS} $ 意味著套利和 $ \text{RHS} < \text{LHS} $ 意味著套利。因此，他們得出結論， $ \text{RHS} = \text{LHS} $ .
這個策略是合法的，但我覺得下面的證明更直接。
$ \textbf{Lemma 1 (law of one price):} $ 如果兩個投資組合在到期時具有相同的利潤 $ T $ ，然後對於所有先前的時間 $ t<T $ 投資組合的價格必須相等。
$ \textbf{Proof:} $ 通過反證套利可以很容易地完成證明。
$ \textbf{Theorem (put-call parity)}: $ 讓 $ P_0 $ 是歐式看跌期權的價格 $ K $ 和成熟日期 $ T $ . 讓 $ C_0 $ 是與看跌期權具有相同參數的歐式看漲期權的價格，並且 $ r $ 成為無風險利率。讓 $ S_0 $ 成為股票的價格 $ t=0 $ . 然後$$ S_0 + P_0 = D(r)K + C_0, $$在哪裡 $ D(r) $ 是無風險銀行賬戶的折扣。
$ \textbf{Proof:} $ 計算出投資組合 $ {\text{own a put, stock}} $ 和 $ {D(r)K\text{ in risk-free bank, own a call}} $ 在同一時間賺取相同的利潤 $ T $ . 然後由引理 1 在任何時候 $ t<T $ 它們的價值必須相同，對於 $ t=0 $ .
這個證明有問題嗎？
在量化金融中，通常有兩種方法可以編寫相等性證明（如看跌期權平價）。
- 通過複製，
- 通過建構套利。
這兩者實際上是相同的，因為第一個是通過製作兩個投資組合來完成的， $ A $ 和 $ B $ ，並表明它們在時間上具有相同的結果 $ t=T $ . 然後，通過 LOOP（一價定律）的論證，人們可以爭辯說，這兩個投資組合的定價必須對所有人都相同。 $ t\leq T $ .
但請注意，LOOP 實際上只是無套利假設的推論。所以這兩種證明方法只是無套利假設的論證。
因此，問題中發布的證明是正確的，但您可能會在教科書中看到直接從無套利假設中以下列方式論證的證明：
- 認為 $ S_0 + P_0 > D(r)K + C_0 $ ，並得出套利頭寸，並且，
- 認為 $ S_0 + P_0 < D(r)K + C_0 $ ，並得出套利頭寸。
得出結論 $ S_0 + P_0 = D(r)K + C_0 $ .
儘管 LOOP 的論證通常較短，但有時最好直接從無套利假設中論證。