社會選擇
阿羅不可能定理
在社會選擇理論中，阿羅不可能定理、一般可能性定理或阿羅悖論是一個不可能定理，說明當選民有三個或更多不同的選擇（選項）時，沒有排名投票選舉系統可以將個人的排名偏好轉化為社區——廣泛（完整和傳遞）排名，同時還滿足一組指定標準：不受限制的域、非獨裁、帕累托效率和無關替代方案的獨立性 (IIA)
因此，我正在尋找一個範例，其中偏好滿足不受限制的域、非獨裁、IIA 並且是排序，但不符合帕累托標準。
設備選方案集為 $ A = \left{a_1,a_2,…,a_k\right} $ . 讓玩家人數為 $ n $ . 讓偏好排序集超過 $ A $ 是 $ \mathcal{P} $ . 那麼偏好配置集就是笛卡爾積
$$ \mathcal{P}^n = \times_{i=1}^{n} \mathcal{P}. $$ 讓我們表示偏好排序 $$ a_1 \succ a_2 \succ … \succ a_k $$ 經過 $ p^* $ . 定義社會選擇函式 $ F $ 經過 $$ \forall p \in \mathcal{P}^n: F(p) = p^*. $$ 這個 SCF $ F $ 顯然具有普遍的領域，不是獨裁，也獨立於無關的替代品。（或與此相關的任何替代方案。）
帕累托標準有兩個作用：它保證每個排名都可以作為一個社會排名出現，並將社會排名與個人排名聯繫起來。如果一個人放棄帕累托標準，但仍然假設每個社會排名都是可能的，那麼人們會得到一個概括，其中每個 SCG 對應於一個獨裁或反獨裁，其中社會排名與特定個人的排名完全相反，一個反獨裁者。這被稱為威爾遜定理，最初來自：
威爾遜，羅伯特。“沒有帕累托原則的社會選擇理論。” *經濟理論雜誌*5.3 (1972): 478-486。