不滿足無限制域條件的社會選擇規則範例
任何不完整的社會選擇規則都可以說違反了不受限制的領域條件嗎？您能否提供一個不完整或違反不受限制的域財產的非帕累托優勢的 SCR 範例？
任何不完整的社會選擇規則都可以說違反了不受限制的領域條件嗎？
是的。
您能否提供一個不完整或違反不受限制的域財產的非帕累托優勢的 SCR 範例？
讓社會由兩個人組成 $ i $ 和 $ j $ . 讓恰好有兩種選擇 $ A $ 和 $ B $ .
每個人都有 3 種可能的偏好：嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ , 無所謂 $ A $ 和 $ B $ ，或嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ .
因此，有 3 × 3 = 9 個可能的社會偏好配置文件：
- $ i $ 嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ 和 $ j $ 嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ .
- $ i $ 嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ 和 $ j $ 之間無動於衷 $ A $ 和 $ B $ .
- $ i $ 嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ 和 $ j $ 嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ .
- $ i $ 之間無動於衷 $ A $ 到 $ B $ 和 $ j $ 嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ .
- $ i $ 之間無動於衷 $ A $ 到 $ B $ 和 $ j $ 之間無動於衷 $ A $ 和 $ B $ .
- $ i $ 之間無動於衷 $ A $ 到 $ B $ 和 $ j $ 嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ .
- $ i $ 嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ 和 $ j $ 嚴格偏好 $ A $ 到 $ B $ .
- $ i $ 嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ 和 $ j $ 之間無動於衷 $ A $ 和 $ B $ .
- $ i $ 嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ 和 $ j $ 嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ .
如果將上述 9 個配置文件中的每一個映射（或分配）到偏好，我們就說社會選擇規則 (SCR) 是完整的或滿足不受限制的域條件。（這種 SCR 的一個簡單範例是將上述 9 個配置文件中的每一個映射到偏好“嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ “。）
一個不完整或違反不受限制域條件的 SCR 的簡單範例是將配置文件 1-8 中的每一個映射到偏好“嚴格偏好 $ B $ 到 $ A $ “，但無法將配置文件 9 映射到任何首選項。（另一個簡單的例子是 @Giskard 的：未能將 9 個配置文件中的任何一個映射到任何首選項的 SCR。）
您的第一個問題似乎是術語。“不受限制的領域”的標准定義說，社會選擇規則為每個個人偏好配置文件產生一個完整的、傳遞的偏好排名。但這只是一個定義，任何人都可以根據自己的目的自由修改它，只要他們在使用術語時清晰一致。有些論文提出了社會選擇規則，其輸出是不完整的社會偏好關係（甚至是不及物的社會偏好關係），他們的作者可能仍然將這些規則描述為滿足“不受限制的領域”，因為他們想要的只是是一個不完整的（甚至是不及物的）關係。所以我認為這個定義並沒有多大關係。
至於你的第二個問題：是的，有例子。假設有一個社會選擇規則F在偏好配置文件的某個域D內“表現良好” （例如，它產生傳遞性社會偏好順序），但在域D之外表現非常糟糕。在這種情況下，通常將F視為僅在域D上“定義”的規則，因此違反了“不受限制的域”假設。
最明顯的例子就是多數規則。在某些領域，多數規則會產生傳遞性的社會偏好。在這些域之外，它的行為很糟糕。因此，將多數規則視為僅在其“傳遞性域”內“定義”的社會選擇規則似乎是合理的。例如，Eric Maskin 和 Partha Dasgupta 在他們 2008 年的論文“論多數規則的穩健性”（歐洲經濟協會雜誌 6 (5) pp.949-973）中採用了這種方法。在這篇論文中，Dasgupta 和 Maskin 證明了多數規則在輪廓的某個域D上滿足五個理想屬性；**此外，它在更大的範圍內滿足這些屬性域比任何其他社會選擇規則。（因此，從這個意義上說，它比其他規則更“穩健”。）
另一個使用類似策略的地方是分析策略證明的社會選擇規則。許多社會選擇規則可以被證明是策略證明的，但僅限於特定的偏好範圍內。例如，格羅夫斯-克拉克關鍵投票規則只有在我們假設所有選民的偏好在貨幣和公共物品之間是準線性的時才具有策略性。