除了最大值之外，是否有任何社會福利泛函滿足阿羅的所有條件以及關於序數水平可比性的不變性？
在關於社會福利泛函的文獻中，我見過的唯一一個滿足阿羅條件的泛函的例子——或者至少是阿羅條件的效用類似物——加上關於序數水平可比性的不變性是羅爾斯的最大值。例如，森在On Weights and Measurements (1977, p. 1544) 中引用 maximin 作為他的函式滿足所有這些條件的案例。馬克西姆根據情況最差的個人的福利對備選方案進行排序。我假設 maximin 的倒數——即替代方案是由最好的個人的福利排序的——也將滿足這些條件。
是否有其他符合所有這些條件的社會福利函式的工作？（我知道，如果我們稍微調整這些條件，我們可以推導出其他函式，但我對保持它們不變的情況感興趣。）
如果不是，這是否證明最大值及其反函式是滿足所有這些條件的唯一在規範上合理的社會福利泛函？還是只是證明人們對這組條件不那麼感興趣？（如果有明確的理由說明這組條件無趣，我很想听聽）。
謝謝你的幫助！
阿羅條件的效用類似物：
阿羅條件的效用類似物是為森的福利函式框架重新定義的阿羅條件。Sen 的函式不是將排序配置文件作為輸入，而是將效用函式的配置文件作為輸入： $ U \ = \ <u_{i_1}(X), \ u_{i_2}(X), \ \dots \ , \ u_{i_n}(X)> $ . $ U $ 定義在 $ X \times N $ ; 每個人， $ i \in N $ , 與每個備選方案配對， $ x \in X $ ，並且每個配對的結果是由下式得出的效用 $ i $ 從 $ x $ . $ \mathcal{U} \ = \ {U^1, \ U^2, \ \dots \ , \ U^n } $ 是所有可能的實用程序配置文件的集合。 $ \mathcal{U^} $ 是滿足特定域限制的所有實用程序配置文件的集合。 $ \mathcal{R} $ 是所有可能排序的集合 $ X $ . 一個社會福利函式可以定義為： $ f: \ \mathcal{U^} \longrightarrow \mathcal{R} $ . profile給出的最終排序 $ U^1 $ , $ f(U^1) $ , 表示： $ R_{U^1} $ . 然後我們可以定義阿羅條件的效用類似物：
*不受限制的域 $ ’ $ :的域 $ f $ 是所有可能的實用程序配置文件的集合： $ \mathcal{U}^ \ = \ \mathcal{U} $ .
弱帕累托 $ ’ $ : $ \forall x, y \in X $ , $ \forall i \in N $ : $ ( \ u_i(x) \ > \ u_i(y) \ ) \ \Longrightarrow \ (xPy) $ .
非獨裁 $ ’ $ : $ f $ 不挑出一個人 $ i \in N $ 這樣， $ \forall U \in \mathcal{U^*}, \ \forall x, y \in X $ : $ ( \ u_i(x) \ > \ u_i(y) \ ) \ \Longrightarrow \ (xPy) $ .
無關實用程序的獨立性： $ \forall U^1 $ 和 $ U^2 $ $ \in \mathcal{U^*}, \ \forall x, y \in X $ : $ (\forall i \in N \ (( \ u^1_i(x) = u^2_i(x) \ ) \land ( \ u^1_i(y) = u^2_i(y) \ )) \ \Longrightarrow \ (( \ x R_{U^1} y \ ) \ \Longleftrightarrow \ ( \ x R_{U^2} y \ )) $ .
至少還有另外兩個滿足這些條件的 SWF 範例。
第一是位置獨裁。讓N是個體的數量（假設它是固定的）。對於介於 1 和N之間的任何**k，第k個位置獨裁 SWF 根據“第k個最好的”代理的偏好對社會選擇進行排序。形式上，給定任何社會選擇x，令v ( x ) 是所有個人對x的效用向量，但從最低到最高排序。然後，第 k個位置獨裁 SWF 由函式v的第k個分量定義。如果k=1，我們得到最大值。如果k=N，那麼我們得到“最大值”——你稱之為最大值的“倒數”。如果k =[ N /2]，我們實際上得到了“中位個體的獨裁”。關鍵不是這些規則在規範上具有吸引力（它們不是）——但它們滿足您的公理。
另一種可能性是所謂的leximin或lexicographical maximin規則。這是最大值的字典擴展，通過根據前一段中的向量值函式v對社會備選方案進行排名而獲得，但座標按字典順序處理。因此，如果備選方案x具有更高的最小效用值，則它優於備選方案y 。如果x和y產生相同的最小效用，那麼我們通過查看x和y中**第二差個體的效用來比較它們。如果這些個體也具有相同的效用，然後我們看第三個最差的個體，依此類推。
此 SWF 與 maximin 非常相似，但它滿足更強大的 Pareto 公理。
有關更多資訊，我建議您查看 Claude d’Aspremont 和 Louis Gevers 2002 年題為“社會福利泛函和人際可比性”的文章，這是《社會選擇與福利手冊》第一卷的第 10 章（Arrow、Sen 和 Suzumura ，編輯）。您還可以查看Hervé Moulin (1988)所著的《合作決策公理》一書的第 2 章。特別是，Moulin 的書第 40 頁上的定理 2.4 可能對您有用：它（大致）說位置獨裁及其擴展（例如 leximin）是唯一滿足序數水平可比性和其他一些溫和條件的 SWF。