社會福利的阿羅不可能性和有效性與帕累托改進分析
阿羅的不可能性指出，在不違反某些理想條件（“無獨裁”、“帕累托效率”、“不相關選擇的獨立性”、“不受限制的領域”和“社會秩序”之一）的情況下，不可能製定社會秩序（社會福利函式） ”）。然而，有許多（著名的）學術論文假設了一些（功利主義的）社會福利函式，相關文獻中最流行的福利函式，以得出一些結論，例如“通過市場進行再分配”和“具有異構代理的貨幣政策：來自坦克模型”。
我想知道，考慮到 Arrow 不可能（沒有有效的社會福利功能），一個人怎麼能全心全意地相信社會福利改善的說法？為什麼著名經濟學家和期刊審稿人認為這樣的分析是有道理的？
你介意幫助我嗎？也許我沒有得到箭頭不可能定理的含義。
讓 $ X $ 是備選的非空集， $ \mathcal{P}_X $ 偏好關係集 $ X $ 和 $ N={1,\ldots,n} $ 一組有限的代理。在全域條件下，阿羅定理涉及來自集合的函式 $ \mathcal{P}_X^N=\underbrace{\mathcal{P}_X\times \mathcal{P}_X\cdots\times\mathcal{P}X}{n\text{ times}} $ 到 $ \mathcal{P}_X $ . 功利主義不僅僅依賴於偏好，因此不能在這種情況下制定。
儘管如此，人們仍然可以根據效用函式制定阿羅定理。所以讓 $ \mathcal{U}_X $ 是實值函式的空間 $ X $ ，解釋為“效用函式”。稍後我將解釋恐嚇引號。我們現在從 $ \mathcal{U}_X^N $ 到 $ \mathcal{P}_X $ . 由於效用函式決定了偏好，我們現在可以做以前可以做的事情，甚至更多。
現在有兩種方法可以在新環境中製定阿羅的無關選擇獨立條件；適應其他條件很簡單。
第一種形式是：
**IIA1：**功能 $ \phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X $ 滿足 IIA1 如果對於任何兩個效用函式配置文件 $ u=(u_1,\ldots,u_n) $ 和 $ u’=(u_1’,\ldots,u_n’) $ , 和任意兩個選擇 $ x,y\in X $ , 這樣 $ u_i(x)\geq u_i(y) $ 當且僅當 $ u_i’(x)\geq u_i’(y) $ 對全部 $ i\in N $ ， 我們有 $ x\phi(u) y $ 當且僅當 $ x\phi(u’) y $ .
請注意，IIA1 隱含兩個組件。第一個說，兩個備選方案的社會排名僅取決於這兩個備選方案的效用值。第二個說只有偏好排名很重要，而不是“強度”。如果我們只保留第一個，我們得到
**IIA2：**功能 $ \phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X $ 如果對於任何兩個效用函式配置文件，則滿足 IIA2 $ u=(u_1,\ldots,u_n) $ 和 $ u’=(u_1’,\ldots,u_n’) $ , 和任意兩個選擇 $ x,y\in X $ , 這樣 $ u_i(x)-u_i(y)=u_i’(x)-u_i’(y) $ 對全部 $ i\in N $ ， 我們有 $ x\phi(u) y $ 當且僅當 $ x\phi(u’) y $ .
IIA2 實際上比要求兩種備選方案的效用在兩個配置文件中都相同要弱；只有差異必須相同。
現在，通過適當地重新表述其他公理，IIA1 意味著所有這些函式 $ \phi:\mathcal{U}_X^N\to\mathcal{P}_X $ 必須是獨裁的，而IIA2與功利主義兼容。
現在，到目前為止，這只是一個純粹的數學問題。特別是，我們將效用函式視為某種客觀的事物，而不僅僅是偏好的表示。他們還以跨代理可比的方式衡量幸福感。因此，功利主義使用的資訊不包含在純粹的積極經濟行為模型中，其中只有偏好很重要。現在，人們可以討論比較不同代理人的福祉以及某些 SWF 需要哪些資訊是多麼明智。從 1970 年代後期開始有一個研究計劃，討論人們用於此類幸福比較的確切資訊假設。John E. Roemer 在 1998 年出版的《分配正義理論》一書中對該主題進行了很好的介紹。Roemer 直接將這一切與阿羅定理聯繫起來，
功利主義 SWF 假設個人的效用函式在貨幣中是擬線性的。因此，它們違反了阿羅的無限制域公理，但滿足其他公理。如果您接受效用的擬線性作為（至少近似）有效的假設，那麼您可以使用此 SWF。