解釋 Cobb-Douglas 效用圖的功能。MRS 如何隨著我們的變化而變化一種一種alpha?
假設我有以下 Cobb-Douglas 函式
$$ U(x,y) = x^\alpha y^{1-\alpha} = 1 $$在哪裡 $ \alpha \in [0,1] $ . $$ MRS = -\frac{U_x}{U_y} = - \frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{y}{x} $$ $$ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} = -\frac{1}{(1-\alpha)^2}\frac{y}{x} $$ 所以假設我有以下一組圖表：
在這裡，我只是選擇了一些值。紅色是 $ \alpha = \frac{1}{4} $ , 藍色是 $ \alpha = \frac{1}{2} $ ，黑色是 $ \alpha = \frac{3}{4} $
我了解不同曲線的陡度和平坦度如何隨著我的變化而變化 $ \alpha $ . 但我對什麼感到困惑 $ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} $ 告訴我有關圖表的資訊。尤其， $ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} $ 取決於 $ \alpha $ . 所以即使我知道 $ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} $ 告訴我多少錢 $ MRS $ 隨著我改變 alpha 的變化……改變 $ \alpha $ 變化 $ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} $ ……所以我很困惑！
我的問題
什麼是 $ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} $ 告訴我有關圖表的資訊？自從 $ \frac{\partial MRS}{\partial \alpha} $ 取決於 $ \alpha $ ，這對事物有何影響？
我認為重要的是要注意 $ MRS(x,y) $ 是一個函式。只有一條無差異曲線經過 $ (x,y) $ . $ MRS(x,y) $ 顯示該曲線在點處的陡度 $ (x,y) $ . 然後 $ \frac{\partial MRS(x,y)}{\partial \alpha} $ 將顯示通過的無差異曲線有多陡峭 $ (x,y) $ 如果您更改參數，則會在此時獲取 $ \alpha $ .
正如 YM’fr 在他的回答中已經說過的那樣，對此的解釋是擁有商品包裝的消費者的邊際替代率（她願意交易的比率）如何 $ (x,y) $ 會改變。