連續聚合
我正在使用以下勞動和消費決策的經濟模型：
- 我有一個人口，其質量被正規化為消費者之一。
- 他們從消費中獲得效用 $ c $ , 提供勞動力 $ l $ 和公共物品 $ y $
- 這可以通過一個可微的效用函式來概括 $ u(c,l,y) $
- 代理商獲得收益 $ z $ 根據以下條件提供勞動力： $$ z=nl $$ 在哪裡 $ n $ 對應於“技能水平”，例如： $ n\in[0,\infty[ $ . 這樣的技能水平是根據技能的分佈來分配的 $ F(n) $ 有密度 $ f(n) $ .
- $ c_n $ , $ z_n=nl_n $ 和 $ u_n $ 用於表示具有技能水平的個人的消費、收入和效用水平 $ n $
- 個體最大化他們的效用函式受到一個約束： $$ c_n=z_n-T(z_n) $$
在哪裡 $ T(\cdot) $ 是一個可微分的“稅收函式”
7.The public good is produced according to the sum of this tax function:$$ y=\int_0^{\infty}f(s)T(z_s)ds $$ 我們可以使用上面的等式將消費者的最大化問題表示為：
$$ \max_{z_n}u\left(z_n-T(z_n), z_n/n, \int_0^{\infty}f(s)T(z_s)ds\right) $$ 這個問題的一階條件寫（省略函式的參數 $ u $ 符號緊湊性）：
$$ u_{c}(\cdot)(1-T’(z_n))+u_l(\cdot)/n+u_y(\cdot)\cdot \frac{\partial y}{\partial z_n}=0 $$ 我有興趣學習最後一個學期 $ \frac{\partial y}{\partial z_n} $ . 看起來很直覺 $ \frac{\partial y}{\partial z_n}=0 $ 自從：
$$ \frac{\partial y}{\partial z_n}=\int_0^{\infty}\frac{\partial f(s)T(z_s)}{\partial z_n}ds=0 $$ 但是，我不確定最後一個方程是否有意義所需的數學要求。這似乎與您在使用總和進行聚合時得到的直覺有些矛盾，例如，離散的類似物將由下式給出：
$$ \sum_{s=0}^{\infty} T(z_s) $$ 很明顯，最後一個表達式的導數關於 $ z_n $ 將等於一。
你能幫幫我嗎？也許需要對整體聚合進行一些廣泛的澄清。謝謝！
獲得 $ \frac{\partial y}{\partial z_n}=0 $ ，您隱含地假設每個消費者都將自己的技能水平視為給定。在這種情況下，實際上消費者只針對提供的勞動力進行優化。也許對以下方面進行優化會更好 $ l $ 給定 $ n $ .
關於聚合，離散的類比不是你寫的，而是
$$ \sum_{s=0}^{\infty}p(s) T(z_s) $$ 在哪裡 $ p(s) $ 將是有收入的人口比例 $ z_s $ .
注意 $ y = E[T(z_s)] $ ，個人稅負與技能水平的期望值。的密度 $ s $ 在連續情況下扮演“人口比例”在離散設置中的作用