Salanie，稅收經濟學（第 2 版）第 99 頁的推導
從第 頁開始。Salanie 的“稅收經濟學”（第 2 版）的第 98 頁，它解釋了
為了更嚴格地探討它，讓我們定義納稅人的效用 $ w $ 當他聲稱有生產力時 $ w’ $ :
$$ V(w’, w) = u(C(w’), Y(w’), w). $$ 為了揭示機制， $ V $ 必須是最大的 $ w’ = w $ . 假設所有函式都是可微的並且收入 $ Y $ 是積極的。那麼我們有一階必要條件 $$ \frac{\partial V}{\partial w’} (w, w) = 0 \tag{NC1} $$ 和二階必要條件 $$ \frac{\partial^2 V}{\partial w’^2}(w,w) \leq 0 \tag{NC2}. $$ 微分（NC1）給了我們 $$ \frac{\partial^2 V}{\partial w’^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial w’ \partial w} = 0 $$ …
我的問題是：我們如何從 (NC1) 得出最後一個方程？如果我區分
$$ \frac{\partial V}{\partial w’} (w’, w) $$ 關於 $ w $ ，我不只是結束了 $ \frac{\partial^2 V}{\partial w’\partial w} $ ? 同樣，如果我區分 $ w’ $ ，我最終得到 $ \frac{\partial^2 V}{\partial w’^2} $ . 我錯過了什麼？
我認為這是鍊式法則。讓 $ w’(w) = w $ ，因為我們正在尋找揭示機制。條件
$$ \frac{\partial V}{\partial w’} (w’(w),w) = 0 $$ 適用於所有人 $ w $ 因為該機制對所有類型都有啟發性。作為（非部分）區分wrt $ w $ 右手邊的大小為0，左手大小的微分也是如此，因此 $$ \frac{d \frac{\partial V}{\partial w’} (w’(w),w)}{d w} = 0. $$ 根據鍊式法則 $$ \frac{d \frac{\partial V}{\partial w’} (w’(w),w)}{d w} = \frac{d w’(w)}{d w}\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial^2 w’} (w’(w),w) + \frac{d w}{d w}\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial w \partial w’} (w’(w),w), $$ 簡化形式是 $$ \frac{\partial^2 V}{\partial^2 w’} (w’(w),w) + \frac{\partial^2 V}{\partial w \partial w’} (w’(w),w). $$