如何在投資組合優化目標函式中加入偏度效應？
我優化了以下風險調整後的投資組合，
其中 gamma 是風險收益權衡， $ r $ 是回報和 $ C $ 是考慮場景的共變異數矩陣，因此不定義為 $ r^\top r $ ，但如以下 Markowitz 論文所示（第 3 頁， $ C = D + GPG’ $ ): https://www.jstor.org/stable/2327552?seq=1
$ P $ 是對角線 $ SxS $ 機率矩陣
$ G $ 是一個 $ NxS $ 矩陣，其條目由下式給出 $ 𝑔𝑛𝑠=𝜇𝑛𝑠−𝜈𝑛 $ . 在哪裡 $ 𝜇𝑛𝑠 $ 是資產的回報率和 $ 𝜈𝑛 $ 是按情景機率加權的第 n 個資產類別的回報。 $ N $ 資產總數
$ D $ 是對角線 $ NxN $ 矩陣，其條目由下式給出 $ 𝑑𝑛𝑛=Σ^S_s 𝑝𝑠*(𝜎𝑛𝑠)^2 $ . 在哪裡 $ 𝜎𝑛𝑠 $ 是第 s 個場景下第 n 個資產的標準差
現在我還想添加第三個時刻，因此這個優化函式的偏度，但我真的不知道如何，如果我必須在這個偏度中包含場景以及如何。
你能指導我嗎？謝謝
讓我們從效用理論中推導出一種可能的方法。
我們的投資者是風險厭惡者，並使用帶有風險厭惡參數的指數效用函式展示 CARA 效用 $ \gamma>0 $ （風險厭惡者）：
$$ u(x)=\frac{1-e^{-\gamma x}}{\gamma} $$
三階泰勒級數展開 $ x=0 $ 產量
$$ \begin{align} u(x)\approx& x - \frac{1}{2}\gamma x^2+\frac{1}{6}\gamma^2x^3 \end{align} $$
因此，預期效用（將被最大化）是 $$ \begin{align} E\left[u(x)\right]&\approx E(x)-\frac{1}{2}\gamma E(x^2)+\frac{1}{6}\gamma^2 E(x^3)\ &=\mu_x-\frac{1}{2}\gamma\left(\sigma_x^2+\mu_x^2\right)+\frac{1}{6}\gamma^2\left(skew_x+3\mu_x\sigma_x^2+\mu_x^3\right) \end{align} $$
在投資組合應用程序中，我們現在可以在評論中使用標準符號和來自@develarist 的有用提示並最大化
$$ w^T\mu-\frac{1}{2}\gamma w^T\Sigma w+\frac{1}{6}\gamma^2 w^TM_3(w\otimes w) $$
受您的投資限制。
實際上，這種方法（僅）是在優化中加入偏度的起點。在這裡，權衡顯然是在 $ -.5\gamma $ 差異的“懲罰”和“獎勵” $ \frac{1}{6}\gamma^2 $ 為正偏度。您當然可以將兩者分開，只需引入您選擇的兩個參數，例如 $ a $ 和 $ b $ 懲罰/獎勵投資組合變異數和投資組合偏度。