如何解釋和定義 GBM 輸出的統計數據
我試圖模擬一些商品的未來價格。為此，我正在應用幾何布朗運動，用 Python 編寫蒙地卡羅程式碼。鑑於我想估計明天的價格 $ S_t $ 對於一種商品，我使用的是以下等式：
$ S_{t}=S_{t-1}\exp((\mu-\frac{\sigma^2}{2})+z\sigma) $
在哪裡 $ z $ 由正態分佈的隨機數確定。 $ \sigma $ 和 $ \mu $ 我已經使用基於相應商品的年度價格數據的對數“回報”進行了計算，即來自 $ t_0 $ 至 $ t $ . 我擁有的數據是 1950-2015 年之間的數據。
現在，我想對 2050 年之前的未來價格進行建模，從 2015 年開始計算。所以我對從 2015 年到 2050 年的每一年都應用了上述公式。例如，2041 年的價格年份為：
$ S_{2041}=S_{2040}\exp((\mu-\frac{\sigma^2}{2})+z\sigma) $
我已經進行了 1000 次模擬，獲得了 2050 年價格的廣泛範圍。我知道這種方法不適合預測，但是我可以用我的結果來說明未來價格的一些情況嗎？如果我取結果的平均值，並執行許多模擬，則相當於只應用公式 $ S_t=S_{t-1}\exp(\mu*\Delta t) $ ， 正確的？我不能假設這個平均值是一個很好的預測估計，或者我可以嗎？
假設我將在 2050 年購買這種商品，並且存在實際價格上漲的風險，我如何應用這個蒙特卡羅模擬模型來確定我需要存多少錢才能在 2050 年買得起該商品？我認為這類似於我正在尋找的風險計算。
未來價格具有對數正態分佈，因此可以使用擬合參數值（或查找）精確計算其矩。參數估計的信賴區間也會給出未來價格時刻的 ci。
你是對的，平均值將是 $ S_0 e^{\mu t} $ . 順便說一句，您可能想增加模擬的數量，1,000 並沒有那麼多。既然你知道 $ (S_t) $ 以封閉形式進行分析，模擬和平均並不能真正為您提供任何進一步的資訊。我們知道所有的時刻 $ (S_t) $ 無論如何都是封閉形式的，並且可以分析地計算所有事件的機率（例如，它的可能性有多大 $ S_t $ 大於 $ x $ 對於某個 $ t $ ）。請注意，如果沒有解析公式，則通常使用近似值（模擬）。那麼，你能解釋你的結果嗎？隨著模擬次數的增加，您所能做的就是“數字驗證”您得出的值與封閉公式相同。
但是，您不能真正使用這種方法來預測價格。資產價格幾乎肯定不會遵循幾何布朗運動，因此您的結果將與現實世界相去甚遠。你需要一個更現實的模型。