如何優化一系列方程，其輸出是後續等式的變數
基本問題是，給定 $ f(x) = y $ 和 $ f(y) = z $ , 你怎麼能找到 $ x $ 這樣 $ z $ 是最大的嗎？
我可以獨立優化每個方程，但我不知道在組合方程時如何優化。一個具體的例子如下：
想像一下由以下組成的外匯市場 $ x $ 和 $ y $ ， 在哪裡 $ x $ 和 $ y $ 都是貨幣。使用者可以發送 $ x $ 受到 $ y $ ，反之亦然。市場結構定義為 $$ \begin{equation} x * y = k \end{equation} $$ 在哪裡 $ k $ 是一個常數，比如說 $ 1 $ , 和的乘積 $ x $ 和 $ y $ 必須始終等於該數字。
的價格 $ x $ 或者 $ y $ 簡直就是 $ x / y $ , 這樣 $ k $ 始終保持不變。如果有人發 $ x’ $ 貨幣作為支付和接收 $ y’ $ 作為回報，市場的新方程式必須是正確的。
$$ \begin{equation} \dfrac{(x + x’)}{(y - y’)} = k \end{equation} $$
鑑於所有這些資訊，假設您要在這種結構的兩個市場上進行交易。你會如何優化你的輸入， $ x0’ $ ，這樣你的輸出 $ x_1’ $ , 被最大化, 並且 $ y_0’ $ 兩筆交易是等價的嗎？
$$ \begin{equation} \dfrac{(x_0 + x_0’)}{(y_0 - y_0’)} = k_0 ;;; and ;;; \dfrac{(y_1 + y_0’)}{(x_1 - x_1’)} = k_1 \end{equation} $$
優化：
$$ z = f(g(x)) $$
使用帶有鍊式法則的傳統微積分：
$$ \frac{dz}{dx} = \frac{df}{dg} \frac{dg}{dx} $$
放 $ \frac{dz}{dx} = 0 $ 這將確定最小值、最大值或鞍點。