用於投資組合範數優化的嶺和二次規劃
很像這篇文章：https ://stats.stackexchange.com/questions/119795/quadratic-programming-and-lasso ，我正在嘗試將 RIDGE Penalty 集成到專用的二次求解器中。就我而言，我正在使用MATLAB 的quadprog。與 LASSO 不同，您可以消除約束形式中的絕對值並以線性形式重寫它們（有效地保持二次問題），而 RIDGE 則不能。這意味著為了有一個二次問題，我必須使用懲罰形式：
$$ RIDGE: \sum_{i=1}^{N} (y - x’\beta)^2 + \lambda \sum \beta_{i}^{2} $$
我的明確問題是通過增加 RIDGE Penalty 來最小化變異數。
$$ {\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w’ \Sigma w \ + \lambda \sum w_i^{2} $$ $$ s.t. \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1 $$
基本上，我想在將權重相加為 1 的同時最小化變異數。金融中一個非常標準的問題。我的問題是：如何調整目標函式以使其包含懲罰？當使用像quadprog這樣的專用求解器時，您只能指定正定平方矩陣和未平方項的向量。使用下面的公式，然後指定 $ H $ 和 $ f $ . 連結：https ://www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html
$$ {\underset{x}{\arg\min}} \frac{1}{2} x’ H x \ + f’x $$
我可以修改 H （這是我的共變異數矩陣），但這會改變我的值的數量 $ w $ 矢量，或者我可以使用 $ f’ $ ，但這是未平方項。我需要實施 $ \lambda x’x $ 在我的目標函式中，等於 $ \lambda \sum x_i^{2} $ .
您分配的模型來自以下論文：
- de Miguel 等人 (2009)投資組合優化的通用方法：通過約束投資組合規範來提高性能
投資組合權重向量的嶺收縮應該或效果最好，而不是使用附加懲罰項，作為單獨的約束：
$$ {\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w’ \Sigma w \ $$
$$ \begin{aligned} s.t. & \sum w_i^{2} \leq \delta^2 \ & \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1 \end{aligned} $$
在哪裡 $ \delta $ 與 $ \lambda $ . 換句話說，而不是增加 $ \lambda $ 為了使投資組合權重更小，你減少 $ \delta $ 達到同樣的正則化效果。
這就是為懲罰調整目標函式的意思。首先顯示的線性回歸公式更適合拉格朗日正則化方法，而您展示的優化（第二個）公式更適合正則化的約束優化方法，並且由於主要目標函式而轉移了對非線性優化的關注（投資組合變異數）我寫的是二次的，而兩個約束是線性的。兩種方法是等價的，因為它們之間是一一對應的 $ \lambda $ 和 $ \delta $ .
如果你堅持使用添加劑 $ \lambda $ 懲罰項，那麼目標將簡化為眾所周知的嶺共變異數矩陣的封閉式解析解，其中 $ I $ 是一個單位矩陣，大小為 $ \Sigma $ .
$$ {\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w’(\Sigma + 2\lambda I)w $$ $$ s.t. \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1 $$