真正的正特徵值，但動態穩定
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我不再思考直截了當，在我的方程式工作時間後完全糊塗了。關鍵是，我有一個不穩定的系統，但我強迫它走上穩定的道路。在意識到這一點之後，一切都變得非常有意義。
問題
（我修復了一些重大錯誤）
我有一個動態的二維繫統
$$ \begin{align} \dot{k} &= \frac{1}{1+\frac{1}{\rho}} - \frac{1}{1+\lambda}\ \dot{\lambda} &= \rho\lambda - \frac{1}{k}. \end{align} $$ 在哪裡 $ k\in[0,2] $ 是狀態，並且 $ \lambda $ 哥斯達黎加。有一個（對稱的）不動點 $ E(\tilde{k},\tilde{\lambda}) $ 在 $ \tilde{\lambda} = \frac{1}{k\rho} $ 產生 $ \tilde{k}=1 $ . 固定點處的雅可比矩陣由下式給出 $$ \begin{align} J_E = \begin{bmatrix}0,& \frac{1}{\left(\frac{1}{\rho}+1\right)^2}\ 1,& \rho\end{bmatrix}E \end{align} $$ 我得到兩個符號相反的特徵值 $$ \begin{align} (\mu_1,\mu_2)=\left(\frac{p(p + \sqrt{p^2 + 2p + 5}+ 1}{2(p + 1)},\frac{p(p - \sqrt{p^2 + 2p + 5}+ 1}{2(p + 1)}\right) \end{align} $$ 在哪裡 $ \rho\in\mathbb{R}{++} $ （時間偏好率）。第一個特徵值總是正的 ( $ \mu_1>0 $ ) 而第二個總是負數 ( $ \mu_2<0 $ ）。所以這是一個不穩定的鞍座，對吧？儘管如此，該系統是穩定的。這怎麼可能，因為我以前認為它一定是不穩定的？圖像顯示了狀態的演變和作為 costate 函式的控制。( $ \rho = 0.05 $ )
作為參考，我添加了數字 $ \rho=2,5 $ . 第一個似乎收斂到不同的固定點 $ k<1 $ （我沒有解決那個問題，因為我處理的是對稱情況；我認為總共有三個）。
第二張圖片顯示了一個奇怪的吸引子？我實際上非常喜歡它的混亂穩定性。為了 $ k\in[0,3] $ 政策職能 $ \tau_1(k) $ 很奇怪。
如果您正在嘗試離散化連續時間模型
$$ \dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}, $$ 然後在離散的時間內你將擁有 $$ \textbf{x}_{t+1} = B \textbf{x}_t $$ 但 $ A\neq B $ ， 自從 $ A $ 描述了變化 $ \textbf{x} $ 儘管 $ B $ 描述下一個值 $ \textbf{x} $ ，而不僅僅是變化。然而 $$ \Delta\textbf{x}t = \textbf{x}{t+1} - \textbf{x}_t = B \textbf{x}_t - \textbf{x}_t = (B-I) \textbf{x}_t $$ 這個新矩陣 $ B-I $ 將對應 $ A $ . （從這裡你也可以看到為什麼穩定性標準是不同的。）
給定你的方程
$$ \begin{eqnarray*} \dot{k} & = & \frac{1}{1+\frac{1}{\rho}} - \frac{1}{1+\lambda} \ \ \dot{\lambda} & = & \rho \lambda - \frac{1}{k} \end{eqnarray*} $$ 離散模型的方程是 $$ \begin{eqnarray*} k_{t+1} & = & k_t + \frac{1}{1+\frac{1}{\rho}} - \frac{1}{1+\lambda_t} \ \ \lambda_{t+1} & = & \lambda_t + \rho \lambda_t - \frac{1}{k_t}. \end{eqnarray*} $$ 您必須計算該系統的雅可比以確定穩定性。
我發現系統是鞍路徑穩定的。
環境 $ z\equiv 1/k $ 我們得到
$$ \begin{eqnarray*} \dot{z} & = & -z^2\left(\frac{\rho}{1+\rho} - \frac{1}{1+\lambda}\right) \ \ \dot{\lambda} & = & \rho \lambda - z \end{eqnarray*} $$ 固定點是 $ E={z^, \lambda^} = {1, 1/\rho} $
該系統在穩態下評估的雅可比行列式為
$$ \begin{align} J_E = \begin{bmatrix}0& -\frac{\rho^2}{(1+\rho)^2}\ -1& \rho\end{bmatrix} \end{align} $$ 決定因素是
$$ {\rm det}(J_E) = 0-\frac{\rho^2}{(1+\rho)^2} < 0 $$ 並且當二乘二系統中雅康比行列式的行列式為負時，系統是鞍路徑穩定的（因此在數學上是不穩定的），而不管雅可比的跡（這裡等於 $ \rho>0 $ ) 是正數、負數或零。
也許這可能會有所幫助。