最大效用函式的競爭均衡
如果我的術語不准確，請提前道歉，我正在用希伯來語學習“數學經濟學”，有些術語翻譯得不好。
我被問到以下問題：兩個賣家是交易市場的一部分，有兩種商品，每個都有效用函式 $ u(x,y)=\max(x,y) $ . 假設第一個賣家從兩件產品開始 $ x $ 和一個單位 $ y $ .
尋找 $ (a,b) $ st 賣家二以 $ a $ 單位 $ x $ 和 $ b $ 單位 $ y $ , 存在競爭平衡。
任何指導都會有很大幫助！提前致謝
我可能是錯的，所以請隨時指出任何錯誤。
它們都具有相同的效用函式 $ u(x,y)=max(x,y) $ 這意味著當 $ Px > Py $ ，他們會選擇消費 $ Y $ 代替 $ X $ 因為他們通過出售所有單位的 x 併購買 y 獲得了更高的滿意度。
以第一個賣家為例，如果他賣掉了所有 X 併購買了 Y，他的總需求為 $ Y $ 將會 $ 2(Px/Py) + 1 $ 並且由於 Px/Py >1，總需求將高於 3。如果他反其道而行之，他的總需求將小於 3。由於效用函式為 $ max(x,y) $ 他會選擇前一種策略
因此，需求 $ X $ 將為零，但供應量為 $ a+2 $ . 此外，還有超額需求 $ Y $ . 因此，這不是一個競爭均衡。
同樣，那麼 $ Px <Py $ , 會有過剩的需求 $ X $ 所以這也不是一個競爭均衡。
我們剩下的唯一案例是 $ Px=Py $ 賣方在消費任何一種商品時都會無動於衷。在這裡，每個賣家每人消費 1 件商品。會有2個案例。
案例 1. 如果賣家 1 消費了所有 $ X $ , 他的要求是 $ 2 + (1)Py/Px = 3 $ 因為 Px=Py 並且 X 的供應量是 $ a+2 $ . 當我們把它等同起來時，我們得到$$ a=1 $$ 請注意，這是唯一需要在這裡保持的條件，在這種情況下，B 可以取任何非負值。
案例 2 是賣方 1 消費所有 $ Y $ 而且，他的要求是 $ 1+ (2)Px/Py = 3 $ 和供應 $ Y $ 是 $ b+1 $ . 因為它們必須相等，所以我們得到$$ b=2 $$再次沒有限制 $ a $ 它可以採用任何非負值。