“理想化”假設下（次）最優交易策略的數學理論 - 價格是交易者已知的隨機過程
問題不在於真實交易，而在於簡化的交易數學模型。
交易中的主要問題之一是某些隨機過程無法正確描述資產價格。
讓我們考慮理想化的情況——假設資產的價格 $ p(t) $ 由交易者已知的某個隨機過程給出。粗略地說，就是所有事件發生的機率 $ p(t_1) = p_1, p(t_2) = p_2, …, p(t_k) = p_k $ 為交易者所知。兩者都是時間 $ t $ 在未來或過去。
在這種理想化的設置中，關於最優或（次）最優交易策略的一些理論結果是什麼？利潤估算的一些理論結果是什麼？（即一些界限——我們的收入不能超過……）
如果不知道這樣的事情——原因是什麼——是困難的還是“沒有人需要”？
“最佳”是指以下內容。當然，直覺上這意味著交易者將獲得最大的利潤，但這裡有一個微妙之處——我們的價格 $ p(t) $ 是一個隨機變數，所以利潤也是一個隨機變數，所以應該指定什麼是“最多”。
有可能 $ E(p(T)) $ （一些平均值 $ t=T $ )，或者可以是 $ \frac{E(p(t))}{std(p(t))} $ - 或者無論如何，任何數學上正確的結果都是非常受歡迎的。
讓我強調一下，從我的角度來看，這是一個數學上定義明確的問題，我希望專家們應該知道許多**數學上嚴格的定理（和/或猜想）。**如果有人懷疑這個問題在數學上是否嚴謹，請讓我們在評論中討論。
可能是這種結果僅適用於某些特殊類型的隨機過程 - 例如布朗運動或其他 - 歡迎任何資訊，我是該領域的新手。
例如假設我們的隨機過程實際上是確定性過程——即只有一個軌跡 $ p(t) = p_0(t) $ 有機率 $ 1 $ , 所有其他軌跡都有機率 $ 0 $ . 那麼最優的交易策略就是局部最小值買入，局部最大值賣出；利潤是變化的 $ p_0(t) $ .
好吧，這當然是過於簡單的情況，但我只是為了證明存在嚴格的數學結果。
此外，這個例子給出了一般隨機過程的最大可能平均利潤的一些界限——我們應該將所有可能的軌跡與它們的變化與權重相加——軌蹟的機率（a’la Feynmann’s path-integral）。
這個界限不應該很尖銳——一般來說似乎不可能實現它——對嗎？更清晰的界限是什麼？
應要求，這是我的兩分錢。假設價格跟隨動態
$$ \begin{cases} \mathbf z_{k+1} &= F(\mathbf z_k,\mathbf i_k,\mathbf w_k), \ \mathbf i_{k+1} &= G(\mathbf i_k, \mathbf w_k) \end{cases} $$ 在哪裡 $ \mathbf z_k $ 是當時交易資產的價格 $ k $ , $ \mathbf i_k $ 是模型參數的值（漂移、波動性、經濟狀況等）和 $ \mathbf w_k $ 是一個雜訊過程。參數和雜訊可以是無限維的（例如參數可以是整個歷史），我們在這裡放置的唯一限制是它們屬於一些 Borel 空間。價格流程 $ \mathbf z_k $ 但是必須是一維的，其值為 $ \Bbb R $ . 現在，我們假設交易者在任何時候
- 如果已經開倉，則可以平倉
- 如果沒有開倉，他可以根據他擁有的金額開倉
讓 $ \mathbf x_k $ 成為交易者的資本，讓 $ \mathbf u_k $ 是目前未平倉頭寸的交易量（如果平倉則為零）。因此，資本的動態是
$$ \mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k + \rho\mathbf u_k(\mathbf z_{k+1} - \mathbf z_k), $$ 在哪裡 $ \rho $ 是一種槓桿。因此，交易者的狀態空間是 $$ \underbrace{\Bbb R}{\text{for }\mathbf x_k}\times \underbrace{\Bbb R}{\text{for }\mathbf u_k} $$ 控制空間由下式給出 $ U = [0,\infty) $ 允許控制結構依賴於狀態： $$ \mathbf u_{k+1} \in \begin{cases} [0,x],&\text{ if } \mathbf u_k = 0, \ {0},&\text{ if }\mathbf u_k > 0. \end{cases} $$
您的績效標準是某個固定時間範圍內的最終資本 $ T $ ， 那是 $ \mathbf x_T $ .
就經典隨機動態規劃而言，您有以下馬爾可夫控製過程 $ (S,U,{U(s)}_{s\in S},f,c) $ 最終狀態空間在哪裡
$$ S = \underbrace{\Bbb R}{\text{for }\mathbf x_k}\times \underbrace{\Bbb R}{\text{for }\mathbf u_k} \times \underbrace{\Bbb R}{\text{for }\mathbf z_k} \times \underbrace{\Bbb I}{\text{for }\mathbf i_k}, $$ 控制空間是 $ U = [0,\infty) $ ，控制結構為 $$ U(x,u,z,i) = \begin{cases} [0,x],&\text{ if } u = 0, \ {0},&\text{ if } u > 0. \end{cases} $$
和動態 $ \mathbf s_{k+1} = f(\mathbf s_k,\mathbf w_k) $ 細節看起來像 $$ \begin{cases} \mathbf z_{k+1} &= F(\mathbf z_k,\mathbf i_k,\mathbf w_k), \ \mathbf x_{k+1} &= \mathbf x_k + \rho\mathbf u_k(\mathbf z_{k+1} - \mathbf z_k), \ \mathbf i_{k+1} &= G(\mathbf i_k, \mathbf w_k). \end{cases} $$ 最後，執行成本是 $ c_t(s) = 0 $ 最終成本是 $ c_T(s) = x $ ， 在哪裡 $ s = (x,u,z,i) $ 是一個狀態向量。動態規劃給出了此類問題的最佳解決方案，可以在 H.-Lerma 和 Lassaire 關於控制馬爾可夫過程的書中查閱。
PS 這是一個模型，您只能交易一種資產，只允許多頭頭寸，您只能平倉整個頭寸（而不是其中的一部分）。然而，擴展是相當微不足道的，並且主要關注可接受的控制結構（哪些控制在哪些狀態下可用）。