Hull-White 模型中的折扣因子
考慮一個 Hull-White 模型
$ dr(t)=\left(\theta(t)-a(t) r(t)\right) dt + \sigma dW(t) $
帶參數
$ a=0.1 $
$ \sigma=0.3 $
$ \theta(t) $ 被校準以匹配
- $ P(0,t)=\exp(-\mu t) $
- 和： $ \mu=0.2 $
當時 $ t=0 $ 遠期貼現因子為：
$ P(0,t,T) = \exp (-\mu (T-t)) $
例如 $ P(0,5,10)=\exp(-0.2\times (10-5))\approx 0.37 $
我也可以在硬體模型中計算這個折扣因子（折扣因子將取決於觀察到的利率 $ r(t) $ ) 時 $ t=5 $ 用公式：
$ P(t,T)=\exp\left(A(t,T)-B(t,T) r(t)\right) $
如果我這樣做（與 $ t=5 $ 和 $ T=10 $ 下面），我得到：
- $ \mathbb{E}\ r(5)=0.9 $
- $ A(5,10)=-2.4 $
- $ B(5,10)=3.9 $
- $ P(t,T)=\exp(-2.4 - 3.9 \times 0.9)=0.003 $
現在我問自己：這個結果正確嗎？之間的折扣係數 $ t=5 $ 和 $ T=10 $ 從減少 $ 0.36 $ 至 $ 0.003 $ ！當然我沒有非常現實的數字（如果 $ t $ 是年，然後在 $ t=5 $ 利率是每年 90%），但也許我誤解瞭如何使用這些公式？！
提前非常感謝！
對於 Hull-White 模型，一個很好的建議是永遠不要使用短期利率 $ r(t) $ 直接地。它通常會非常不穩定，並且取決於收益率曲線上的插值。而是引入新變數 $$ x(t) = r(t) - f(0,t), $$ 在哪裡 $ f(0,t) $ 是時間的瞬時遠期匯率 $ t $ 從時間上看 $ 0 $ . 通過在這個變數中重寫赫爾-懷特模型，你需要從收益率曲線中為債券定價的唯一數量 $ P(t,T) $ 是市場貼現因子 $ t $ 和 $ T $ .
在這裡，L. Andersen 和 V. Piterbarg 所著的《利率建模》第二卷是一本極好的參考書。
當你使用 $ E[r(t)] $ ，您需要包含一個附加條款以確保無套利條件。
嘗試使用模擬 $ r(t) $ 併計算期望 $ P(t,T) $ 因為 $ P(t,T) $ 是一個隨機變數。( $ N $ = 模擬次數）
$$ P^1 (t,T) = \exp(A(t,T) - B(t,T)r^1(t)) $$ $$ P^2 (t,T) = \exp(A(t,T) - B(t,T)r^2(t)) $$ $$ … $$ $$ P^N (t,T) = \exp(A(t,T) - B(t,T)r^N (t)) $$
$$ E[P (t,T)] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} P^i (t,T) $$