第一價格拍賣中的貝氏-納什均衡
在貝氏-納什均衡的著名教科書範例中，有兩個獨立參與者的第一價格拍賣。每個玩家 $ i $ 將項目視為 $ v_i $ , 均勻分佈在 $ [0,1] $ . 假設每個玩家的策略 $ i $ 是出價他價值的一小部分，即：
$$ b_i(v_i) := a_i \cdot v_i $$ 對於一些常數 $ a_i $ . 然後，我們可以得出結論，對於每個 $ a_1 $ , 玩家 2 的最佳反應是選擇 $ a_2=1/2 $ . 因此，這種形式的唯一貝氏-納什均衡是 $ a_1=1/2, a_2=1/2 $ .
現在，我嘗試通過假設玩家的值均勻分佈在 $ [c,d] $ , 對於一些常數 $ d>c>0 $ . 但我沒有找到平衡。假設玩家 1 出價 $ a_i \cdot v_i $ 和玩家 2 出價 $ $ a_2 \cdot v_2$。那麼玩家 2 的期望效用是：
$$ ProbOfWinning(a_2)\cdot GainWhenWinning(a_2) $$ $$ =Pr[a_1 v_1 < a_2 v_2]\cdot (1-a_2)v_2 $$ $$ =\frac{(a_2 v_2 /a_1)-c}{d-c}\cdot (1-a_2)v_2 $$ 取這個表達式的導數 $ a_2 $ 給出玩家 2 的最佳反應是：
$$ a_2 = {1\over 2} + {a_1 c\over 2 v_2} $$ 所以最好的 $ a_2 $ 取決於 $ v_2 $ . 這意味著從價值到行動的函式並不是我最初假設的線性。
我的計算有什麼錯誤嗎？本次拍賣中的貝氏-納什均衡是什麼？
實際上假設 $ b_i(v_i) $ 是形式 $ \alpha_i+\beta_i \cdot v_i $ . 所以它是一個仿射函式。僅當均勻分佈的底部為 0 時，線性才有效。
一個有點直覺的推理是，如果估值均勻分佈在 $ [c,d] $ 和 $ b_i(v_i) $ 是一個對稱平衡，那麼 $ b_i(v_i)+k $ 當估值一致時，應該定義一個對稱均衡 $ [c+k,d+k] $ 因為獲勝的機率和收益都不會改變。
假設策略的形式 $ \alpha_i+\beta_i \cdot v_i $ 你得到
$$ =Pr[\alpha_1 + \beta_1 \cdot v_1 < \alpha_2 + \beta_2 \cdot v_2] \cdot ((1- \beta_2) \cdot v_2 - \alpha_2) $$ $$ =Pr\left[v_1 < \frac{\alpha_2 - \alpha_1 + \beta_2 \cdot v_2}{\beta_1} \right] \cdot ((1- \beta_2) \cdot v_2 - \alpha_2) $$ $$ =\frac{\frac{\alpha_2 - \alpha_1 + \beta_2 \cdot v_2}{\beta_1}-c}{d-c}\cdot ((1- \beta_2) \cdot v_2 - \alpha_2) $$ 取導數 $ \alpha_2 $ 和 $ \beta_2 $ 你得到你的第一個訂單條件。假設對稱，你會得到一個獨特的解決方案。如果 $ c = 0 $ 然後 $ \alpha_1 = \alpha_2 = 0 $ .
順便說一句，我更喜歡治療 $ b_2(v_2) $ 作為決策變數，那麼你可以
$$ \max_{b_2(v_2)} Pr\left[v_1 < \frac{b_2(v_2) - \alpha_1}{\beta_1} \right] \cdot (v_2 - b_2(v_2)) $$ 最後一部分稍微簡單一些。